Derivate

Appunto inviato da marciansalvatore87
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Note molto schematiche su derivate fondamentali e calcolo della derivata (2 pagine formato doc)

Applichiamo la definizione di derivata di una funzione di una variabile:
Sia LIM il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale della funzione.
Questo limite, se esiste finito, è la derivata della funzione f(x).
h è l'incremento della funzione tra x e x+h (il cosiddetto Δx)
Δy invece è l'incremento della funzione in seguito all'incremento h della variabile indipendente, ed è = f(x+h) - f(x) = Δy
Il rapporto incrementale si indica come Δy / Δx ed è [ fx+h) - f(x) ] / h
Ora, se esiste finito il limite di tale rapporto incrementale per h ---> 0 allora tale limite + la derivata prima della funzione nel generico punto x.

Nel tuo caso il punto è x = 1

Sia per nostra comodità LIM il limite per h→0
per cui scrivo f ' (x) = LIM [ f (1+h) - f(1) ] / h
Ma f (1) = 0 perché se al posto di x metti il valore 1 ottieni √0 che è 0.
f (3 + h) = √(3+h-1) = √(2+h)
IL rapporto incrementale in x=3 è
Δy / Δx = [√(2+h) - 0 ] / h
Il LIM (ovvero il limite per h→0 ) è INFINITO perché hai che il numeratore tende a √(2) mentre il denominatore va a zero per cui il rapporto tende all'infinito.
Allora il LIMITE esiste sì, ma NON E' FINITO, per cui la funzione che hai NON E' DERIVABILE IN X=+1.

La derivata non esiste in x=1.
Facciamo la controprova di quanto detto:

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