Teoremi e dimostrazioni

Untitled TEOREMI E DIMOSTRAZIONI TEOREMA (DELL'UNICITÀ DELL'ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE) L'estremo superiore (o inferiore) di un insieme A, se esiste, è unico. DIMOSTRAZIONE Supponiamo per assurdo che esistano due estremi superiori e , e supponiamo che > . Se > , allora non è un estremo superiore perché non è il più piccolo dei maggioranti, infatti è un maggiorante più piccolo di lui. TEOREMA (DEL QUOZIENTE TRA POLINOMI) Siano M e N due polinomi con grado(M) ? grado(N). Allora esistono due polinomi Q e R con grado(R) < grado(N) tali che: M = Q * N + R (M= dividendo, Q= quoziente, N= divisore, R= resto) TEOREMA (REGOLA DI RUFFINI) Sia M un polinomio; allora c è radice di M se e solo se M è divisibile per N=(x-c), cioè se esiste un polinomio Q tale che: M=Q(x)(x-c) DIMOSTRAZIONE Ipotesi: c è radice di M ? M(c)=0 Tesi: M(x) = Q(x) (x-c) Poiché M e N si possono dividere, allora esistono Q e R tali che M = Q(x) * N = (x-c)+R(x) grado(R) 0 e piccolo a piacere, quindi anche un numero < di . TEOREMA DEL CONFRONTO SUI LIMITI Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in uno stesso e siano e . 1) Se , allora esiste un intorno (diverso da ) tale che risulta: f(x) > g(x) quando . 2) Se f(x) ? g(x) , allora . 3) TEOREMA DEI CARABINIERI: Sia h(x) una funzione definita su e tale che f(x) < h(x) < g(x). Se () cioè se =, ne segue che TEOREMA (OPERAZIONI TRA FUNZIONI CONTINUE) Siano f(x) e g(x) due funzioni continue su un insieme A. Allora risulta che: la somma (f(x)+g(x)) è continua in A; il prodotto f(x)*g(x) è continuo in A; il rapporto , se esiste, è continuo in A; la composizione , se esiste, è continua in A. TEOREMA DI WEIERSTRASS Sia f continua in . Allora risulta: f è limitata cioè il dominio di f è limitato; f ha massimo (M) e minimo (m), cioè esistono in punti di massimo e di minimo assoluto; f assume tutti i valori compresi tra il suo minimo (m) e il suo massimo (M), cioè       Cod f = . TEOREMA DEGLI ZERI Sia f continua in e sia f(a)*f(b)0 Quindi =?>0 quindi anche l'altro membro è >0 dunque LA TESI È DIMOSTRATA ? ? >0 >0 TEOREMA (FUNZ. CONVESSA ?MINIMO ASSOLUTO) Sia f derivabile in (a,b) e convessa. Allora, se è un punto stazionario (), è PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO (in (a,b)). DIMOSTRAZIONE Tesi: è punto di minimo assoluto cioè Ipotesi: f è convessa in (a,b) Poiché f è derivabile e convessa in (a,b) allora risulta che . Poiché per ipotesi, sostituendo 0 a si ottiene . Quindi , dunque è PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO ? LA TESI È DIMOSTRATA. TEOREMA (FUNZ. CONCAVA ?MASSIMO ASSOLUTO) Sia f derivabile in (a,b) e concava. Allora, se è un punto stazionario (), è PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO (in (a,b)). DIMOSTRAZIONE Tesi: è punto di massimo assoluto cioè Ipotesi: f è concava in (a,b) Poiché f è derivabile e concava in (a,b) allora risulta che . Poiché per ipotesi, sostituendo 0 a si ottiene . Quindi , dunque è PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO ? LA TESI È DIMOSTRATA. TEOREMA (FUNZIONE CONVESSA, CONCAVA, LINEARE) Sia f derivabile due volte in (a, b). Se ? f è CONVESSA in (a, b)