La circonferenza

LA CIRCONFERENZA Una circonferenza è "il luogo dei punti", cioè l'insieme dei punti tali che sono "equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza" e tale distanza è detta "raggio della circonferenza". Il punto P di coordinate generiche x e y appartiene alla circonferenza con centro nel punto C di coordinate (p, q) e raggio r>0 (figura 10) se la distanza fra il punto C e il punto P è uguale ad r, cioè se Ö[(x - p)2+ (y - q)2] = r Elevando al quadrato ambo i membri otteniamo: (x - p)2+ (y - q)2= r2 che è l'equazione della circonferenza con centro nel punto C (p, q) e raggio r. Svolgendo i quadrati e portando tutti i termini a primo membro otteniamo, dopo semplici calcoli, l'equazione generale della circonferenza in "forma canonica" (dal greco kánon = modello): x2 + y2 + ax + by + c = 0 dove a, b, c sono numeri reali e sono legati alle coordinate del centro C e alla lunghezza del raggio r dalle relazioni: - coordinate del centro C (-a/2, -b/2) - lunghezza del raggio r = Ö[(a/2)2 + (b/2)2 - c] Poiché la lunghezza del raggio di una circonferenza deve essere un numero reale positivo segue che il radicando, cioè l'espressione che sta sotto il segno di radice nella relazione che dà il raggio, deve essere positivo ovvero: (a/2)2 + (b/2)2 - c > 0 e quindi (a/2)2 + (b/2)2 > c Se (a/2)2 + (b/2)2 = c la circonferenza degenera in un punto, cioè il suo raggio vale 0, mentre se (a/2)2 + (b/2)2 < c allora la circonferenza non esiste nel campo reale e si chiama "circonferenza immaginaria" che non può essere rappresentata nel piano cartesiano usuale. Una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi coordinati nell'equazione ha a = 0 e b = 0 (circonferenza 1 in figura 11) mentre una circonferenza che passa per l'origine ha sempre c = 0 nella sua equazione (circonferenza 2 in figura 11); se il centro della circonferenza giace sull'asse delle y, allora nella sua equazione il termine a è nullo (circonferenza 2 in figura 11), mentre se il centro giace sull'asse delle X allora è nullo il termine b. Poiché nell'equazione canonica della circonferenza ci sono tre quantità indeterminate, cioè a, b e c, ne segue che per determinare univocamente l'equazione di una circonferenza sono necessarie tre condizioni: si conoscono tre punti della circonferenza oppure si conoscono le coordinate del centro (due condizioni) e un punto della circonferenza oppure si conosce il raggio (due condizioni) e un punto della circonferenza. Se, per esempio, sono dati tre punti A (1, 1), B (2, 5) e C (3, 0) per determinare l'equazione della circonferenza (se esiste) passante per i tre punti dati si sostituiscono le coordinate dei punti al posto delle x e y nell'equazione generale della circonferenza x2 + y2 + ax + by + c = 0: passaggio per il punto A (1, 1) si ottiene 1 + 1 + a + b + c = 0 passaggio per il punto B (2, 5) si ottiene 4 + 25 + 2a + 5b + c = 0 passaggio per il punto C (3, 0) si ottiene 9 + 3a + c = 0 risolvendo il sistema formato da queste tre equazioni nelle