Le derivate e teoremi

DERIVATE E TEOREMI

Derivate di funzioni.
- Rapporto incrementale:
Data una funzione f(x) definita e continua in un intervallo, siano x0 e x0 + h, con, due punti dell’intervallo, si definisce rapporto incrementale il rapporto fra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile:
=    f(x0 + h) – f(x0)
h
Definizione di derivata
Si definisce derivata della funzione y = f(x) in un punto x0, il limite , se esiste ed è fini-to, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento della variabile:
f’(x0) =    lim    f(x0 + h) – f(x0)    =    lim    f(x) – f(x0)
    h→0    h        x→x0    x – x0
Tangente nel punto P(x0, f(x0)):
Si definisce tangente nel punto P(x0, f(x0)) alla curva del grafico della funzione y = f(x), la posizione limite, se esiste, della retta che unisce P a un altro punto Q della cur-va quando Q tende a P muovendosi sulla curva.
L’equazione della tangente in un punto P(x0, y0) è :
                y – y0 = f’(x0) · (x – x0)
Punto stazionario: Si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto x0 in cui la derivata della fun-zione è nulla.
Punto angoloso: Se in un punto P(x0, y0) esistono il limite destro e il limite sinistro del rapporto incre-mentale, diversi tra loro, allora il punto P è detto punto angoloso e i due limiti sono det-ti derivata destra e derivata sinistra.
Punto di Cuspide: Se in un punto P(x0, y0) esistono il limite sinistro e il limite destro del rapporto incre-mentale e sono uguali, rispettivamente, a + ∞ e a - ∞ (o viceversa), allora il punto P è detto cuspide.
Punto di flesso: Se il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale sono entrambi uguali a + ∞ (oppure a - ∞) il punto è detto di flesso a tangente verticale.

Calcolo delle derivate e formule

TEOREMI SULLE DERIVATE

Teoremi sulla derivazione:
Derivata della somma di due funzioni: Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili in uno stesso intervallo, la derivata della somma delle due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle due funzioni:
                y = f(x) + g(x)        y’ = f’(x) + g’(x)
Derivata del prodotto di due funzioni:
Se due funzioni f(x) e g(x) sono definite e derivabili in uno stesso intervallo, la derivata del prodotto delle due funzioni è uguale alla somma dei prodotti della derivata di ognu-na delle due funzioni per l’altra:
Derivata del prodotto di una costante per una funzione: La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della co-stante per la derivata della funzione.

Regole delle derivate