Equazioni di primo grado

EQUAZIONI DI 1° GRADO EQUAZIONI DI 1° GRADO Considereremo espressioni letterali in cui figura soltanto una lettera che chiameremo x. Essa è l'incognita, cioè il valore da scoprire perché il primo membro sia uguale al secondo. Vedremo meglio in seguito il significato di queste espressioni che chiameremo equazioni di 1° grado a una incognita. Principi di equivalenza Cerchiamo di risolvere questo problema: in un bar ci sono in tutto 30 posti a sedere, suddivisi tra sgabelli, come quelli raffigurati, con tre piedi, e sedie, per un totale di 115 piedi. Quante sono le sedie, quanti gli sgabelli? Si tratta di trovare il modo opportuno per esprimere in termini matematici la differenza tra sedie e sgabelli, e il loro numero. La prima cosa che facciamo è di scegliere se indicare con la lettera x il numero delle sedie o quello degli sgabelli. Scegliamo di indicare con x, cioè l'incognita, il numero delle sedie. Sommando il numero delle sedie e degli sgabelli, dobbiamo ottenere, e ce lo dice il problema, il numero 30, che e il totale dei posti a sedere. Se x è il numero delle sedie, 30-x sarà il numero degli sgabelli. E' infatti facile verificare che x+(30-x) = 30 (basta semplificare eliminando la x). Il problema ci dice che il numero totale dei piedi è 115; è attraverso il numero dei piedi che dobbiamo determinare quante sono le sedie e quanti gli sgabelli. Ora una sedia ha 4 piedi, poiché x indica il numero delle sedie, 4x (che si legge «quattro per x») indica il numero dei piedi delle sedie; se 30-x indica il numero degli sgabelli e uno sgabello ha tre piedi, 3•(30-x) indica il numero dei piedi degli sgabelli; la loro somma deve dare 115. Scriviamo allora 4x+3•(30-x) = 115: abbiamo sintetizzato il nostro problema in quella equazione. Eseguiamo ora le operazioni: 4x+90-3x = 115. Portiamo al primo membro tutte le espressioni contenenti l'incognita x, portando invece al secondo membro tutti quei termini che sono solo numerici: 4x-3x = 115-90. Eseguiamo le operazioni e otteniamo (4-3)x = 25, cioè 1x = 25, e quindi x = 25. Abbiamo così trovato il numero delle sedie. Per trovare il numero degli sgabelli, nell'espressione 30-x basta sostituire 25 al posto di x, ottenendo 30-25 = 5. Ci sono perciò 5 sgabelli. Per provare che abbiamo trovato il risultato giusto, basta sostituire all'incognita il suo valore, cioè 25, nell'intera equazione. Si ha così: 4•25+3•(30-25) = 100+15 = 115. Il risultato è corretto. Abbiamo proposto e risolto questo problema per illustrare il significato delle equazioni nel loro uso concreto. La ragione per cui la lettera x è chiamata incognita è ormai chiara. Infatti abbiamo visto che essa va determinata usando tutte le informazioni che il problema ci dà. I termini che non contengono l'incognita si dicono termini noti. L'equazione da noi considerata è di primo grado: infatti per grado di un'equazione si intende l'esponente massimo col quale compare l'incognita. Nel nostro esempio era come se x fosse elevato all'esponent