Teorema della Media

Tesi: l’area (A) sottesa dalla funzione su [a,b] è uguale alla base (b-a) per una opportuna altezza f(c), cioè A=(b-a)f(c) dove c è un punto compreso in [a,b] Dimostrazione: indichiamo ora con m il minimo della funzione f(x) in [a,b], M il massimo n il numero di parti uguali in cui dividiamo [a,b] h=(b-a)/n, la misura di ogni singolo intervallino mi il minimo della funzione f(x) su ogni intervallino, con i = 1,2,…,n si ha evidentemente sommiamo ora i termini delle disequazioni precedenti. moltiplichiamo ora il tutto per h sostituiamo ora h=(b-a)/n e semplifichiamo (b-a)m< sn <(b-a)M (2) applichiamo ora ai termini dalla (2) il limite per n tendente a più infinito, cioè Il primo ed il terzo limite sono indipendenti da n, mentre il limite centrale per la (1) vale A perciò (b-a)m