Le funzioni di due variabili: definizione

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i massimi e i minimi delle funzioni di due variabili e il loro punti critici vincolati e assoluti, teorema dell'Hessiano e il moltiplicatore di Lagrange (3 pagine formato doc)

LE FUNZIONI DI DUE VARIABILI: DEFINIZIONE

Data una funzione z = f(x,y) definita in un insieme D, il punto P0(x0,y0) di D si dice:
-    Punto di massimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui valga: f(x,y) ≤ f(x0,y0);
-    Punto di minimo relativo se esiste un intorno di P0, incluso in D, per cui valga: f(x,y) ≥ f(x0,y0).
Perchè una funzione z = f(x,y), derivabile parzialmente rispetto a x e a y, ammetta massimi o minimi è che il sistema delle derivate prime poste uguali a zero ammetta soluzioni.

Come calcolare i massimi e i minimi relativi di una funzione: definizione e spiegazione


FUNZIONI DI DUE VARIABILI, MASSIMI E MINIMI

I punti nei quali si annullano le derivate parziali prime si dicono punti stazionari o critici.


Tuttavia non è detto che tali punti siano di massimo o di minimo.
Una condizione sufficiente per stabilire di che tipo è un punto critico fu data dal matematico Hesse.
Data la funzione z = f(x,y) definita in un insieme   R x R e dotata di derivate parziali seconde in D, si dice determinante hessiano H di f in un punto P0(x0,y0) di D il determinante.
Teorema dell’Hessiano e dei punti critici.
Sia z = f(x,y) definita in un insieme   R x R e dotata di derivate prime e seconde continue in un intorno di P0(x0,y0) di D.
I punti di sella generalizzano i punti di flesso orizzontale per le funzioni di una variabile.

Massimi e minimi delle funzioni: come trovare i punti di massimo e minimo in una funzione a più variabili


FUNZIONI DI DUE VARIABILI, TEORIA

Massimi e minimi vincolati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Sia z = f(x,y) definita in un insieme   R x R  soggetta al vincolo g(x,y) = 0 e dotata di derivate prime e seconde continue in D e che la funzione g(x,y) abbia derivate prime che non si annullano contemporaneamente.
Indicata con F(x.y,λ) la funzione lagrangiana.
Sussiste il seguente teorema.
Condizione necessaria per l’esistenza di massimi e minimi vincolati è che..
I punti le cui coordinate verificano la condizione necessaria sono detti punti critici o stazionari di F.

Condizione sufficiente per stabilire se i punti critici di F  sono massimi o minimi è espressa mediante l’hessiano orlato così definito