La parabola

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"Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta fissa detta direttrice. il punto P appartiene alla parabola se, e solo se, la distanza PF, dove F è il fuoco della parabola, è uguale alla distanza PH dove H è la pr (0 pagine formato doc)

LA PARABOLA LA PARABOLA Una parabola è "il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta fissa detta direttrice".
il punto P appartiene alla parabola se, e solo se, la distanza PF, dove F è il fuoco della parabola, è uguale alla distanza PH dove H è la proiezione di P sulla direttrice. La parabola è una curva simmetrica rispetto a una retta che prende il nome di "asse" e, contrariamente alla circonferenza e all'ellisse, non è una curva chiusa; i suoi rami si estendono all'infinito. L'equazione canonica della parabola è: y = ax2 + bx + c se a è positivo allora la concavità della parabola è rivolta verso l'alto, mentre se a è negativo la concavità è rivolta verso il basso. Nel caso di una parabola con concavità rivolta verso l'alto, il punto di minimo, ovvero il punto della parabola che ha coordinata x più piccola prende il nome di "vertice" della parabola; nel caso che la concavità della parabola sia rivolta verso il basso, il vertice è il punto di massimo, ovvero il punto che ha coordinata x massima, della parabola.
@Parabole con concavità verso l'alto e verso il basso @Variazione dell'apertura della parabola al variare di a Dall'equazione canonica della parabola è possibile determinare le coordinate del vertice: la coordinata x del vertice è -b/2a la coordinata y del vertice è (4ac - b2)/4a. Per quanto riguarda il fuoco della parabola abbiamo: la coordinata x del fuoco è -b/2a (la stessa del vertice poiché il fuoco e il vertice stanno sull'asse che è una retta parallela all'asse Y) la coordinata y del fuoco è (1 + 4ac - b2)/4a l'equazione dell'asse è x = -b/2a mentre l'equazione della direttrice è y = (-1 + 4ac - b2)/4a Data una parabola e una retta possono avvenire i seguenti casi: 1. la retta non interseca mai la parabola 2. la retta interseca la parabola in due punti distinti A e B 3. la retta interseca la parabola in due punti coincidenti T, ovvero la retta è tangente alla parabola in T 4. la retta interseca la parabola in un punto P; allora la retta è parallela all'asse delle Y cioè parallela all'asse della parabola. Analogamente per quanto fatto nel caso della circonferenza, per trovare i punti di intersezione si deve mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione della retta e studiare il discriminante dell'equazione algebrica di secondo grado risultante y= ax2 + bx + c y = mx + q risolvendo il sistema per sostituzione otteniamo: ax2 + bx + c -mx - q = 0 e raccogliendo i termini comuni abbiamo: ax2 + (b-m)x +c -q = 0 Se il discriminante di questa equazione algebrica è positivo allora la retta è secante alla parabola in due punti distinti; se il discriminante è negativo la retta non interseca la parabola, mentre se il discriminante è nullo la retta è tangente alla parabola. Se la retta è parallela all'asse delle y, cioè parallela all'asse della parabola, l'equazione della retta è: x = k e quindi messa a sistema con l'equazione della parabola y = ax2 + bx + c e sostituendo k al posto di x si ottiene: