Concetto di limite di una funzione

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE

Il concetto di limite si trova già presente, anche se in forma non esplicita, nella matematica greca, poiché molti risultati sui calcoli di aree e di volumi ricavati dai matematici greci erano, in sostanza, basati su un passaggio al limite.

Dovevano, però, trascorrere molti secoli prima di giungere con Eulero nel 1755 ad una definizione abbastanza precisa di limite, anche se Eulero non la utilizza e non sviluppa la teoria dei limiti.  Si deve a Cauchy e, soprattutto, alla successiva formalizzazione  Weierstrass, una definizione rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione rigorosa dell'analisi matematica.

Limiti: definizione e spiegazione

DEFINIZIONE DI LIMITE

Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite della funzione f(x) nel punto x0 nel modo seguente:
"Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una η0, tale che per 0<η<η0 la differenza f(x0±η)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x0".
Oggi la ηdi Weierstrass viene spesso sostituita da un'altra lettera greca, δ.
Intervallo:
Un intervallo è detto chiuso se contiene gli estremi [a,b]; aperto se non li contiene ]a,b[
Punto di accumulazione.

Definizione di limite

CONCETTO DI LIMITE MATEMATICO

Il concetto di punto di accumulazione permette di studiare il comportamento delle funzioni nelle vicinanze di un punto, in cui la funzione non esiste. Un punto x0 si dice di accumulazione per il sottinsieme x di R se preso a piacere un intorno del punto ad esso appartengono elementi di x distinti da x0
Limite di funzione:
Una funzione y = f(x) ammette limite finito (l) nel punto x0  se intorno al punto la funzione si approssima al valore numerico finito
Dal punto di vista grafico ciò indica che il punto x = x0 non appartiene al dominio della funzione e risulta essere un asintoto verticale.

I limiti: spiegazione di matematica

CONCETTO DI LIMITE DI FUNZIONE

Teoremi:
- Teoremi dell’unicità del limite:  supponiamo che la funzione convergente ammetta due limiti distinti in x0   
Poiché i due limiti sono diversi(l  )devono esistere due intorni relativi rispettivamente, (J e J2) la cui intersezione è vuota :         
Applicando la definizione di limite all’intorno J del limite l : fissato l’intorno J esiste in sua corrispondenza un intorno I di x0 tale che la funzione appartiene a J per ogni x appartenente a I e al dominio
Tale definizione sarà la medesima anche per J2,chiaramente con i rispettivi punti riferiti sempre ad x0                                   
Infatti essendo I ed I2 intorni dello stesso punto, l’intorno di questi due punti sarà sempre un intorno di x0
Da cui la funzione deve appartenere contemporaneamente a J e a J2, questo però è impossibile perché  
L’assurdo,quindi, mette in evidenza che la tesi iniziale è errata poiché l deve essere uguale a l2.
- Teorema della permanenza del segno: se il limite di una funzione è positivo in un punto x0esiste un intorno del punto in cui anche la funzione è positiva.

 

Limite: definizione e spiegazione

 

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