Continuità e discontinuità delle funzioni: significato

CONTINUITA' E DISCONTINUITA' DELLE FUNZIONI: SIGNIFICATO

Continuità e discontinuità delle funzioni. Si dice che la funzione f(x), definita in tutti i punti di un intervallo [a,b], è continua nel punto c (interno a questo intervallo), se risulta: lim f(x) = f(c) x->c
la funzione è continua in un punto c appartenente al dominio se:
lim f (x) è uguale a un num.

finito x->c
esiste finito il lim f(x)x->c
risulta lim  f(x) = f(c)x->c
Proprietà delle Funzioni continue:
- TEOREMA DI WEIERSTRASS:la funzione ammette un minimo assoluto e un massimo assoluto.( massimo assoluto:è un numero che all’interno dell’insieme dei valori assunti dalla funzione non viene superato da nessun numero dell’insieme; minimo assoluto:è un numero che all’interno dell’insieme non è maggiore di nessun altro numero dell’insieme)
- TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI: la funzione assume ogni valore compreso tra il suo minimo m e il suo massimo M.
- TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI: se in due punti dell’intervallo la funzione assume valori di segno opposto, esiste almeno un punto tra questi in cui la funzione è nulla.
Sia f(x) una funzione definita in un insieme A e c un punto di accumulazione per A.
Si dice che f(x) ha un punto di discontinuità in x=c, se f(x) non è contenuta nel punto x=c.

Funzione continua: definizione e quando una funzione si dice continua

TIPI DI DISCONTINUITA'

Discontinuità eliminabile: si dice che c’è un punto di discontinuità eliminabile per una funzione f se la funzione ammette limite finito.
Discontinuità di prima specie:si dice che c’è un punto di discontinuità di prima specie per una funzione f se, la funzione ammette limite destro e limite sinistro finiti e diversi tra loro.
Discontinuità di seconda specie: si dice che c’è un punto di discontinuità di seconda specie per una funzione f se, in x=c, uno dei due limiti della funzione è infinito o non esiste.

Funzioni continue: esercizi svolti

PUNTI DI DISCONTINUITA'

I punti di discontinuità.
Punto di accumulazione: se nell’intorno di un punto cadono infiniti punti (o valori)
Punto isolato si ha quando intorno a tale punto non cadono infiniti valori.
Punto angoloso: si ha quando esistono la derivata destra e la derivata sinistra nel punto,ma sono diverse tra loro (es.

quando c’è la funzione in un modulo) e quindi la funzione non è derivabile
Punto di cuspide: si ha quando calcolando il lim per x  tendente a quel punto, della derivata rima risulterà infinito.