definizione numeri primi

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esauriente definizione del concetto di numro primo e discussione sull'1 come numero primo (3 pagine formato doc)

Cosa sono i numeri primi Cosa sono i numeri primi Cominciamo la nostra discussione sui numeri primi, che sono i “mattoni” dell'aritmetica dal punto di vista della moltiplicazione.
La nostra definizione è la seguente. Definizione 2.1 (Numero primo) Un intero positivo n si dice primo se ha esattamente due divisori positivi. Questa definizione di numero primo è diversa da quella che la maggior parte delle persone ricorda dalle Scuole Medie: “un intero positivo n si dice primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso”. Il motivo principale per cui diamo questa definizione è che vogliamo escludere il numero 1 dall'insieme dei numeri primi: daremo qualche giustificazione per la nostra scelta nel § 2.1 . In effetti, su alcuni testi si trova la definizione di numero primo nella forma (equivalente alla nostra): “un intero n?2 si dice primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso”.
Sono dunque primi i numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , mentre non sono primi i numeri 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, . . . . Il numero 1 non è classificato. I numeri primi sono importanti perché sono alla base della struttura moltiplicativa dei numeri naturali: il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica 3.1 assicura che ogni numero naturale si può ottenere moltiplicando fra loro opportuni numeri primi in uno ed un solo modo , a parte l'ordine in cui i fattori sono presi. Per questo motivo, gli interi n?2 che non sono numeri primi si dicono composti. Il nostro scopo qui è anche quello di indicare altri motivi di interesse (teorico e pratico) dei numeri primi, non immediatamente evidenti. 1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7? 8? . . . Figura 1: L'ordinamento dei numeri naturali positivi indotto dalla funzione successore: per motivi evidenti questo ordinamento si chiama lineare o totale . La Figura 1 mostra l'ordinamento standard dell'insieme dei numeri naturali positivi N*= N \{ 0 } : a partire da 1, ogni intero si ottiene dal precedente aggiungendo 1, ed in questo modo si ottengono tutti gli interi positivi. In questa figura come nella successiva, indichiamo solo il successore o i successori immediati di ogni intero, e quindi la relazione di ordine si considera prolungata per transitività: se a