Derivata parziale: matematica

Untitled Derivata parziale a due variabili Vogliamo cercare di estendere il concetto di derivata (visto nel caso di funzioni a variabile reale), al caso di funzioni in più variabili. Vediamo come sia possibile far ciò, proprio partendo dalle nozioni note nel caso di funzioni dipendenti da una singola variabile.       Sia A un aperto di 2 e sia f : A -->  una funzione; fissiamo un punto X0 = (x0, y0) in A e definiamo la nuova funzione f0(x) :=f(x, y0), ottenuta considerando la funzione f ristretta alla retta {y = y0}. Questa nuova funzione è una funzione dipendente da una singola variabile (la x) e quindi possiamo calcolare (se esiste) il limite del suo rapporto incrementale: se tale limite esiste finito, lo denoteremo con , che chiameremo derivata parziale della f rispetto alla x (in realtà le notazioni presenti nei vari testi sono le più varie: f, fx, ...). In altre parole, quello che abbiamo fatto è stato considerare gli incrementi della f per piccole variazioni del suo argomento lungo la direzione dell'asse delle x.       In maniera completamente analoga si definisce la derivata parziale rispetto alla y.       Questa definizione ci fornisce anche un metodo per calcolare le derivate parziali (al di là del calcolo del limite del rapporto incrementale): basta considerare una variabile come "parametro" fissato ed applicare tutte le regole note per il calcolo delle derivate di funzioni dipendenti da una sola variabile reale.       Inoltre, si definisce il vettore gradiente, il vettore le cui componenti sono rappresentate proprio dalle derivate parziali: (anche in questo caso la notazione varia da testo a testo).       Ma perché limitarci a considerare gli incrementi lungo l'asse delle x o delle y? Si può generalizzare quanto appena fatto agli incrementi lungo una qualsiasi direzione? La risposta è ovviamente affermativa.       Consideriamo una direzione (cioè, un vettore)  = (1, 2) diversa da (0, 0) e il seguente rapporto incrementale: se tale limite esiste finito, denoteremo tale valore con quello che viene detto derivata direzionale della f rispetto alla direzione .       Facciamo un po' di osservazioni sui concetti finora illustrati: Le derivate parziali sono delle particolari derivate direzionali, rispetto alle direzioni e1 = (1, 0) ed e2 = (0, 1). Non è assolutamente detto che esistano tutte le derivate direzionali. Per esempio, la funzione f(x, y) = |x| + y in X0 = (0, 0) ha derivata parziale finita rispetto alla y, ma non rispetto alla x. Qualora esista il gradiente (cioè entrambe le derivate parziali), è possibile fornire una rappresentazione delle derivate direzionali in termini del gradiente: dove con "" abbiamo indicato il prodotto scalare standard in 2. Quindi l'esistenza di entrambe le derivate parziali implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali. Osserviamo che il discorso fatto in precedenza è valido se si considerano due qualsiasi direzioni linearmente indipendenti (anziché le direzioni e1 ed e2). Quindi possiamo concluder