Derivata di una funzione: definizione

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il rapporto incremetale, derivata prima, derivate fondamentali, punti stazionari e di discontinuità, teoremi di Lagrange e Rolle e Regola De L'Hospital. Definizione di derivata di una funzione (1 pagine formato doc)

DERIVATA DI UNA FUNZIONE: DEFINIZIONE

Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b] e due punti interni all'intervallo x e x+h, si chiama rapporto incrementale della funzione il numero [f(x+h)-f(x)]/h.

Esso rappresenta il rapporto dell'incremento dell'ascissa sull'incremento dell'ordinata ed è il coefficente angolare della retta AB, secante alla funzione. Al diminuire del valore di h il punto B tende ad avvicinarsi al punto A. Per h che tende a 0 quindi, B andrà a sovrapporsi ad A, ed il rapporto incrementale tenderà al coefficiente della retta tangente alla funzione, che prende il nome di derivata prima. Data una funzione y=f(x)  definita in un intervallo [a;b], si chiamerà derivata della funzione nel punto x interno all'intervallo, se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale per h che tende a 0.

Le derivate: regole e significato geometrico di derivata


DERIVATA CALCOLO

Una funzione è derivabile in un punto quando le derivate dx e sx della funzione in quel punto sono uguali e finite.

Una funzione è derivabile in un intervallo quando è derivabile per ogni punto interno ad esso e, se esistono e sono finite la derivata dx e sx alle estremità dell'intervallo. Una funzione se è derivabile in un punto, in quel punto è anche continua. Non è valido però in contrario. Esistono alcune derivate fondamentali: Dk=0 ; Dx=1 ; DxA=axA-1.
Quando una funzione è parallela all'ordinata , con la quale quindi non si interseca mai, significa che la sua derivata prima in un punto è=0. Quel punto prenderà il nome di P. stazionari e può essere P.di massimo, di minimo o, nel caso in cui cambi la concavità, Flesso a Tangente Orizzontale.

Derivata di una funzione: definizione


DERIVATA DI UNA FUNZIONE

Esistono invece 3 punti in cui la funzione non è mai derivabile: Punti Angolosi, quando le derivate dx e sx sono finite ma diverse; Punti Flessi a tangente Verticale, quando le derivate dx e sx sono uguale ma infinite;  Punti di Cuspide, quando le derivate dx e sx non sono ne uguali ne finite.
Teorema di Lagrange: Quando una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b] risulta continua in tutto l'intervallo e derivabile per ogni punto interno ad esso allora esisterà almeno un punto interno all'intervallo c, per cui vale la relazione f'(c)=f(b)-f(a)/b-a
Teorema di Rolle: Quando una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a;b] risulta continua in tuttol'intervallo e derivabile per ogni punto interno ad esso e risulterà valida la relazione f(a)=f(b) allora f'(c)=0.
Teorema del Hospital: Dato un intorno I di un punto C e due funzioni definite nell'intervallo (escluso al più c) se: le due funzioni sono derivabili in I g'(x)=/0; le due funzioni  per x che tende a C  tendono a 0 o infinito.