Domande di matematica per l'esame di Maturità

Appunto inviato da sarasorry
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Studio delle funzioni e derivate, risposte molto approfondite di matematica (7 pagine formato doc)

1 PUNTI DI DISCONTINUITA' ED ESEMPI GRAFICI Un punto x0 di un intervallo [a;b] si dice punto di discontinuità per una funzione f(x) se la funzione è definita in tutto l'intervallo [a;b], escluso al più x0, e in tale punto essa non è continua.
I punti di discontinuità possono essere di tre specie: I SPECIE: lim f(x)= ?1 lim f(x)= ?2 ?1 ? ?2 x ? x0+ x ? x0- Un punto di discontinuità è di prima specie se calcolando il limite per x che tende ad x0 da destra e da sinistra si ottengono due valori finiti differenti. II SPECIE: lim f(x)=? x ? x0 Un punto di discontinuità è di seconda specie se calcolando il limite per x che tende ad x0 si ottiene come risultato infinito. III SPECIE: lim f(x)= ? x ? x0 Un punto di discontinuità è di terza specie se calcolando il limite per x che tende ad x0 si da destra che da sinistra si ottiene lo stesso valore finito.
Es.: y x0 0 x CONCETTO DI CONTINUITA' ED ESEMPIO GRAFICO La funzione f(x)si dice continua nel punto x0 quando il lim f(x)=f(x0) . x ? x0 Affinché la funzione sia continua occorre che siano rispettate tre condizioni: 1: ? f(x0) 2: ? lim f(x)= ? x ? x0 3: ? = f(x0) Deve cioè esistere il limite di f(x) per x che tende ad x0 e tale limite deve essere uguale a f(x0). Se una di queste tre condizioni dovesse cadere, la funzione non sarebbe continua. Es.: funzione continua In [a;b] y 0 a b x Non è detto che una funzione continua sia derivabile, mentre ogni funzione derivabile in un punto è ivi continua. ASINTOTI Gli asintoti sono delle linee rette alle quali la curva della funzione si avvicina senza mai toccarle. Gli asintoti possono essere verticali, orizzontali od obliqui. ASINTOTI VERTICALI: x = x0 lim f(x)=? x ? x0 Gli asintoti verticali si trovano calcolando il limite per x che tende al valore escluso dal dominio, ovvero dall'insieme di tutti i valori che si possono attribuire ad x, della funzione. Affinché ci sia l'asintoto verticale deve risultare infinito. ASINTOTI ORIZZONTALI: y = ? lim f(x)= ? x ? ? Gli asintoti orizzontali si trovano calcolando il limite per x che tende ad infinito della funzione. Affinché ci sia l'asintoto orizzontale deve risultare un numero finito. ASINTOTI OBLIQUI: y=mx+q Bisogna calcolare m… lim f(x) = ? x ? ? ????x???? ... e q lim [f(x) - mx] x ? ? Per ricavare gli asintoti obliqui bisogna prima trovare il coefficiente angolare (m) della retta, calcolando il limite per x che tende ad infinito della funzione alla quale si aumenta di un grado l'incognita del denominatore. Deve risultare un numero finito altrimenti l'asintoto è orizzontale. Poi si passa a trovare il punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate (q), calcolando, della differenza fra la funzione e la funzione calcolata in m, il limite per x che tende ad infinito. Se l'asintoto attraversa l'asse delle y, deve risultare un numero finito. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA PRIMA La derivata prima di una funzione f(x) è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale della funzione nel pun