equazioni differenziali, integrali e derivate

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Riassunto e punti chiavi delle derivate, integrali e equazioni differenziali. Spiegazioni di Teoremi e Formule. (2 pagine formato doc)

DERIVATE DERIVATE Data la funzione y=f(x) e preso x0 , un punto interno all'intorno reale I si ha che: h = incremento di x (Dx) Dy = incremento di y ( f(x0 + h)-f(x0) ) Quindi il rapporto incrementale è: Dy/Dx = (f(x0+h)-f(x0))/Dx DERIVATA = limite del rapporto incrementale con Dx0 Geometricamente: Rapporto incrementale = coefficiente angolare della retta secante alla funzione nei punti P e P0 (cioè i punti di ascissa x0 e x0 + h ).
Derivata = coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel suo punto di ascissa x0 Una funzione si dice DERIVABILE in x0 se in tale punto essa ha derivata finita (cioè se esiste il limite del suo rapporto incrementale). Una funzione derivabile in un punto x0 è anche CONTINUA in x0 (cioè il limite della funzione in quel punto è uguale alla funzione stessa) ma non viceversa.
PUNTO STAZIONARIO = punto x0 in cui la derivata della funzione f(x) è nulla. La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse. La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda, sommato al prodotto della prima funzione per la derivata della seconda. Derivata di una FUNZIONE INVERSA: sia data una funzione y=f(x) invertibile e derivabile in un intervallo I e la sua inversa x= g(y); allora la derivata di g(y) è uguale al reciproco della derivata della funzione di partenza y=f(x): g'(y) = 1/ f '(x) DIFFERENZIALE di una funzione = incremento lungo la retta tangente (geometricamente) (matematicamente) = è il prodotto della sua derivata per il differenziale della variabile indipendente dy = f `(x) ? dx Quindi possiamo definire la derivata come il rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente f ' (x) = dy/dx TEOREMA DI ROLLE = sia y = f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, di estremi a e b, è derivabile nei punti interni di tale intervallo; se la funzione assume valori eguali negli estremi a e b dell'intervallo, allora esiste almeno un punto c, interno all'intervallo in cui la derivata della funzione è nulla ( la retta tangente alla funzione nel punto di ascissa c è parallela all'asse x). TEOREMA DI LAGRANGE = Data una funzione y = f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b] e derivabile nell'intervallo aperto (a;b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a;b], tale che risulti: f(b) - f(a) f '(c) (significa che esiste un punto c interno ad [a;b] in cui la derivata della funzione è uguale al coefficiente angolare della corda passante per a e b f ` (c) = m ab ) TEOREMA DI CAUCHY = Siano date due funzioni y = f(x) e y = g(x) entrambe continue nell'intervallo [a;b] e derivabili in (a;b); inoltre la funzione g (x) ammetta derivata diversa da zero in tutti i punti dell'intervallo (a;b); esiste allora almeno un punto c, interno all'intervallo, nel quale si verifica che: f (b) - f(a) f ` (c) TEOREMA DI DE L'HOPITAL = Siano date due funzion