Esercizi e soluzioni sui polinomi

Esercitazioni sui polinomi Esercitazioni sui polinomi. Trova tutti i polinomi p tali che p(0)=0 e che per ogni x, p(x²+1)=p(x)²+1 Siano a,b,c e d interi distinti e supponi che (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-4=0 abbia una radice intera r. Dimostrare che: 4r=a+b+c+d Risolvi il seguente sistema: x+y+z=a x²+y²+z²=b² xy=z² per x, y e z (sono date le necessarie condizioni di a e b affinchè x,y e z sono distinti e positivi). Sia a un numero fissato diverso da 0. Trova tutte le soluzioni(che ovviamente dipendono da a) del sistema: x+y+z=a (1/x)+(1/y)+(1/z)=1/a Per quali interi positivi n l'espressione: x^n+(2+x)^n+(2-x)^n ha una radice razionale?(y^n significa y elevato alla n-esima potenza) Dimostrare che se a,b e c sono tre termini consecutivi di una progressione aritmetica di interi allora non è possibile che a^n+b^n=c^n Un polinomio P(x)=x^n+ax^(n-1)+bx^(n-2)+……..+1 con coefficienti reali ha n radici reali. Dimostrare che P(2)>3^n o P(2)=3^n. Sia P(x) un polinomio i cui coefficienti sono interi positivi. Chiamiamo a(n) la Somma delle cifre di cui è composto lo svolgimento di P(n). Dimostra che c'è una sequenza che appare infinite volte nella sequenza a(1),a(2),…….a(n),……. (a)Trova il minimo valore che può assumere il polinomio P(x,y)=4+x²y^4+x^4y²-3x²y² (b)Dimostrare che questo polinomio non può essere espresso come somma di quadrati di polinomi in x e in y con coefficienti reali. Soluzioni dei problemi Possiamo facilmente individuare infiniti x tali che p(x)=x (0,1,5,26,….). Quindi p(x)-x è un polinomio con infinite radici e quindi deve essere uguale a 0. Dunque l'unico polinomio che soddisfa le richieste è p(x)=x Nota che (r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4 e i fattori a destra sono tutti interi e diversi l'uno dall'altro.Quindi gli unici valori che tali fattori possono assumere sono -1, +1,+2,-2. Sommando queste eguaglianze si ottiene la tesi. Consideriamo il polinomio q(t) che ha x,y e z come soluzioni. q(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t²+(xy+xz+yz)t-xyz. Ma si ha che xy+xz+yz=((x+y+z)²-x²-y²-z²)/2=(a²-b²)/2 e sostituendo nell'espressione sopra trovata si ha che q(t)=t^3-at²+((a²-b²)/2)t-z^3. Dal momento che q(z)=0 si ha che z^3-az²+((a²-b²)/2)z-z^3=0 da cui si ricava che o z=0 o z=(b²-a²)/(2a) e si ricavano poi facilmente le altre soluzioni. Sia s=xy+xz+yz. Quindi xyz=sa. Così x,y e z sono le radici del polinomio q(t)=t^3-at²+st-sa. Ma a è chiaramente una radice dell'equazione e quindi almeno uno tra x,y e z è uguale ad a(e quindi chiaramente gli altri due termini sono c e -c per un qualsiasi c diverso da 0). Quindi le sole e uniche soluzione dell'equazione sono tutte le permutazioni della terna (a,c,-c) con c reale diverso da 0. Se n è pari nessun termine è negativo e almeno uno è positivo, cosicchè in Questo caso non esiste nessuna radice reale.Ora supponi che n sia dispari e maggiore o uguale a 3(il caso n=1 è banale). Svolgendo il polinomio, si osserva che lo stesso polinomio è monico e ha il termine noto uguale a 2