Funzioni e derivate: appunti

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spiegazione delle funzioni e come si fa lo studio di funzione, massimi e minimi, teorema de l'hopital e derivate (6 pagine formato doc)

FUNZIONI E DERIVATE APPUNTI

Lo studio di funzione.

Lo studio di funzione è quel procedimento che permette di analizzare e graficizzare una qualsiasi funzione sotto diversi aspetti.
Funzione: è una relazione di qualsiasi tipo che lega la variabile indipendente x alla variabile dipendente y, in modo che ad ogni x corrisponda uno ed un solo valore di y. Viene generalmente indicata con l’espressione  y = f (x).

Regole delle derivate


FUNZIONI DERIVATE SPIEGAZIONE

I diversi punti da analizzare sono:
1)    Ricerca del campo di esistenza (dominio)
2)    Ricerca degli asintoti verticali (A.V.)
3)    Positività
4)    Intersezioni assi
5)    Ricerca dell’asintoto orizzontale (A.O.)
6)    Ricerca dell’asintoto obliquo (A.OB.)
7)    Massimi e minimi
8)    Disegno della funzione.
Ricerca del campo di esistenza (CE). Campo di esistenza, dominio = Sono tutti quei valori che posso attribuire alla X affinché esista la Y.
Si possono trovare diversi CE a seconda del tipo di funzione in esame:
Dopo aver trovato il CE si procede a tracciare l’asse x e l’asse y sul grafico, per essere poi in grado di disegnare la funzione.
Prima di procedere con lo studio di funzione è opportuno dare la definizione di ASINTOTO:
“L’asintoto è una retta alla quale la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla; si dice anche che la distanza tra la funzione e l’asintoto tende a zero senza mai diventare zero”.
Ricerca degli asintoti verticali (AV).
ASINTOTI VERTICALI:  sono tutti quei valori che annullano il denominatore nelle funzioni razionali ed irrazionali fratte.

Essi hanno equazione  y  =  C  e la loro caratteristica principale è che non possono mai essere attraversati dalla funzione.
Nelle funzioni logaritmiche si annulla anche il numeratore.
Essi sono paralleli all’asse Y ed hanno equazione generica: x = k
L’asintoto verticale ha una sua verifica che è la seguente:
sia “c” il valore che annulla il denominatore si deve verificare che..
Dopo aver trovato gli AV, si procede a disegnarli nel grafico.
Positività. Il calcolo della positività permette di andare a vedere dove la funzione, laddove esiste, si snoda.
Si ottiene ponendo:      y = f (x) > 0.

Funzioni e grafici


APPUNTI SULLE DERIVATE

Derivate. Sono una tecnica di calcolo particolare che trova molte applicazioni sia in matematica che in fisica.
Per applicare la derivazione ad una funzione si devono conoscere una serie di regole e di formule.  Esse hanno due definizioni: una prettamente teorica, una dal punto di vista geometrico.

Derivata: definizione di matematica


DEFINIZIONE DI DERIVATA

DEFINIZIONE TEORICA DI DERIVATA: la derivata è il limite per “H” che tende a “0” del rapporto incrementale, dove “H” è l’incremento che do alla variabile “X”, mentre il rapporto incrementale è il quoziente fra due cateti del triangolo rettangolo PQR.
DEFINIZIONE GEOMETRICA DI DERIVATA: la derivata dal punto di vista geometrico rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in un determinato punto.
Nello studio di funzione la derivata si usa per cercare i punti di massimo o di minimo o di flesso* che sono punti particolari della funzione.
* (Flesso = è un punto in cui la funzione cambia la sua concavità).
 Per la funzione parabola ad esempio il vertice rappresenta un punto o di massimo o di minimo.
Quando “h” tende a “0” significa che il punto “Q” tende al punto “P”, significa che la secante diventa una tangente ed allora il coefficiente angolare di questa tangente è la derivata della funzione calcolata nel punto “P”.