Funzioni: massimi e minimi

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appunti di matematica su come calcolare i massimi e minimi relativi di una funzione (4 pagine formato doc)

FUNZIONI: MASSIMI E MINIMI

Funzione reale di una variabile reale.


Siano A e B  due sottoinsiemi non vuoti di R, si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento di x appartenente ad A uno e un solo elemento y appartenente a B.
Una funzione si dice crescente quando al crescere della x anche la y, mentre una funzione si dice decrescente quando al crescere della x la y decresce.
Campo di esistenza. Il campo di esistenza è l’insieme dei valori che posso attribuire alla variabile indipendente x per ottenere una y reale.
Derivata. Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0, il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere comunque a zero dell’incremento h della variabile indipendente x.
Da un punto di vista geometrico la derivata della funzione f(x) è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva di equazione y= f(x) nel punto [x0; f(x0)].
Se una f(x) è derivabile nel punto x0 è necessariamente continua in quel punto.

Come trovare i massimi e i minimi in una funzione a più variabili


COME SI TROVA IL MASSIMO DI UNA FUNZIONE

La derivata di una somma di due o più funzioni esiste ed è uguale alla somma delle derivate di ogni funzione.
La derivata di un prodotto di due funzioni esiste ed è uguale alla derivata del primo fattore, per il secondo fattore più il primo fattore per la derivata del secondo.
La derivata di un quoziente di due funzioni esiste ed è uguale ad una frazione avente per numeratore la derivata del numeratore per il denominatore meno il numeratore per la derivata del denominatore, e per denominatore il quadrato del denominatore.
Se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) è positiva, allora la funzione è, in (a; b), crescente in senso stretto mentre se in un intervallo (a; b) la derivata della funzione f(x) è negativa, allora la funzione è, in (a; b) decrescente in senso stretto.

Funzioni e grafici


MASSIMO RELATIVO

Massimo e minimo relativo.

Per massimi o minimi relativi si intende il punto più alto o più basso che la funzione assume in un certo intervallo.
Sia f(x) una funzione reale definita nell’intervallo [a; b] e x0 un punto di tale intervallo. Se esiste un intorno H del punto x0, per ogni x del quale, diverso da x0, risulta:
f(x)<= f(x0): si dice che x0 è un punto di massimo relativo;
f(x)>= f(x0): si dice che x0 è un punto di minimo relativo;
Regola pratica per la determinazione dei massimi e minimi relativi di una funzione derivabile
1_ si deriva la funzione f(x) e si trovano i valori che annullano la f’(x), cioè si determinano le soluzioni dell’equazione: f’(x)=0.
2_ Se x0 è una di queste soluzioni, si calcola la f’’(x0). Se risulta f’’(x0)0 allora x0 è un punto di massimo o minimo relativo. In particolare sarà un massimo se f’’(x0)0.

 

Funzioni di due variabili: definizione