Geometrie Euclidee e non Euclidee

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Breve appunto sulle varie geometrie: Euclidee e non Euclidee. (3pg. file.doc) (0 pagine formato doc)

Le geometrie Le geometrie La geometria euclidea La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale avviene nel III secolo a.C.
grazie ad Euclide che nei suoi Elementi riassume e sistematizza tutto il sapere scientifico dell'epoca, dandogli una struttura logica rigorosa fondata su enti primitivi e proprietà fondamentali, dette postulati. Nella stesura della sua opera Euclide evita di far ricorso al concetto di infinito, e comunque quando è costretto a farlo si ricollega all'infinito potenziale di Aristotele, per cui nel secondo postulato risulta che "si possa prolungare indefinitamente una linea retta" e nel quinto, detto postulato delle parallele, enuncia che "se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette se estese indefinitamente si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti", che in forma più semplice equivale a dire che: " Per un punto è possibile tracciare una sola retta parallela ad una retta data" Nella stesura degli Elementi lo stesso Euclide dubitò della validità del quinto postulato: infatti lo utilizzò nella dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo ed evitò il più possibile di richiamarlo in altre dimostrazioni. Per molto tempo i matematici furono convinti che il quinto postulato di Euclide non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema: ci furono tanti tentativi di dimostrarlo e di sostituirlo con nuovi postulati ma tutte le sostituzioni si rivelarono equivalenti ad esso.
La geometria iperbolica Nel 1829 un matematico russo, Nicolas I. Lobacevski (1793 - 1856), affrontò una strada completamente nuova, la creazione di una nuova geometria nella quale fosse contemplata, in sostituzione del quinto postulato, la negazione dell'unicità della parallela: " Per un punto si possono tracciare almeno due rette parallele ad una retta data" Questa geometria si rilevò altrettanto logica che quella di Euclide, e quindi del tutto accettabile; nasce così una geometria non euclidea chiamata geometria iperbolica. Un modello della geometria iperbolica è una circonferenza privata del contorno: in essa i punti sono punti interni alla circonferenza e le rette sono corde private degli estremi; dato un punto interno esistono due corde passanti per il punto e che incontrano una corda data in un punto della circonferenza. La geometria ellittica Nel 1851 un matematico tedesco, Bernhard Riemann (1826 - 1866) presentò un'altra geometria fondata sulla negazione dell'esistenza della parallela: "Per un punto non è possibile tracciare alcuna retta parallela ad una retta data" Anche questa teoria risulta completamente coerente e quindi viene chiamata geometria ellittica. Modello di questa teoria può essere la superficie di una sfera, in cui si definiscono punti le coppie di punti diametralmente opposti e rette i cerchi massimi; due cerchi massimi si incontrano sempre. Il modello può essere