Grandezze proporzionali e teorema di Talete

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Definizione e dimostrazione dei teoremi delle grandezze direttamente e inversamente proporzionali e del teorema di Talete con le sue conseguenze (5 pagine formato doc)

GRANDEZZE PROPORZIONALI E TEOREMA DI TALETE

Grandezze proporzionali e teorema di Talete e le sue conseguenze.

Grandezze direttamente proporzionali. Consideriamo due classi di grandezze e supponiamo che tra gli elementi di   e di   intercorra una corrispondenza biunivoca, ossia una relazione che faccia corrispondere ad ogni elemento di   uno ed un solo elemento di   e viceversa. Due classi di grandezza   e   in corrispondenza biunivoca tra di loro sono dette direttamente proporzionali se, e solo se, il rapporto tra due qualunque grandezze di   è uguale al rapporto tra le grandezze omologhe della classe  .
In tal caso, dette   e  due elementi di  , e   e   le loro corrispondenti grandezze della classe  , possiamo scrivere la proporzione:
 Le grandezze   sono i termini della proporzione:    e   si dicono antecedenti,   e   conseguenti; poi,   e   sono detti estremi della proporzione, e   e   medi della proporzione.
Se quattro grandezze sono in proporzione, lo sono pure i numeri che esprimono le misure di queste grandezze.

Talete: biografia e opere

GRANDEZZE PROPORZIONALI TEOREMA DI TALETE E SUE CONSEGUENZE

Talete. Le grandezze geometriche godono delle proprietà del permutare, dell’invertire del comporre e dello scomporre.
•    Teorema 1: costante di proporzionalità
Se due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, il rapporto tra la misura di una qualsiasi grandezza della prima e la misura della corrispondente grandezza della seconda è costante.
Siano   e   le misure di due grandezze della classe   e   e   le misure di due qualsiasi grandezze corrispondenti della classe  .
Ne consegue che:
 Detto   il valore del rapporto tra   e  , ne  viene che il quoziente tra le misure di due grandezze corrispondenti è lo stesso per ogni coppia. Tale costante prende il nome di costante di proporzionalità.

GRANDEZZE PROPORZIONALI DIRETTE E INVERSE

•    Teorema 2: criterio di proporzionalità
Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi complete di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali di una classe corrispondano grandezze uguali dell’altra e che alla somma di due grandezze qualunque di una classe corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra.
Dati due classi G e G’ in corrispondenza biunivoca, siano   e   due misure di due elementi corrispondenti con  , cioè  : ne consegue che le due classi sono direttamente proporzionali per il teorema prima dimostrato. Infatti consideriamo le corrispondenze   e  , si ha:
a.    qualora risulti  , ne consegue che  ;
b.    se consideriamo la somma  , a essa rimane associata l’espressione  : per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione si ha che  , cioè che  .
Per il criterio generale di proporzionalità le due classi sono direttamente proporzionali.