Frazioni, numeri decimali, proporzioni, insieme q e insieme r

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Appunti di matematica sui seguenti argomenti: frazioni, numeri decimali, proporzioni, insieme q e insieme r (2 pagine formato doc)

FRAZIONI, NUMERI DECIMALI, PROPORZIONI, INSIEME Q E INSIEME R

Le frazioni.

Si chiama frazione un'espressione del tipo a/b, con b diverso da 0, che indica il quoziente esatto della divisione tra a e b.
Le frazioni si possono dire Proprie se a < b, Improprie se a > b e Apparenti se a è multiplo di b.
Due frazioni si dicono equivalenti quando i loro prodotti in croce sono uguali (a/b e c/d  axd=bxd).
Proprietà invariantiva delle frazioni: Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero naturale diverso da 0 si ottiene una frazione equivalente a quella data. Analogamente, dividendo numeratore e denominatore per un loro divisore si ottiene una frazione equivalente a quella data.
Frazione ridotta ai minimi termini: Si dice frazione ridotta ai minimi termini quella frazione avente numeratore e denominatore primi tra loro.
Numero razionale assoluto: Si dice numero razionale assoluto l'insieme formato dalle infinite frazioni equivalenti a una frazione data.

I numeri decimali: quali sono

NUMERI DECIMALI

Numeri Decimali.

Si dice numero decimale una successione di cifre (da 0 a 9), separate da una virgola. La successione di cifre a sinistra della virgola si chiama parte intera del numero, la successione di cifre a destra si chiama parte decimale (o frazionaria).
Un numero decimale si dice periodico se ha infinite cifre dopo la virgola che, da una certa posizione in poi, si ripetono a gruppi uguali. Il gruppo di cifre che si ripete viene detto periodo e si indica soprassegnandolo con un trattino.
Se in un numero periodico il periodo inizia subito dopo la virgola il numero è detto periodico semplice; in caso contrario è detto periodico misto e l'insieme delle cifre comprese tra la virgola e il periodo è detto antiperiodo.
Numeri decimali generati dalle frazioni: I numeri decimali generati da frazioni possono essere finiti o periodici.
- Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione in fattori primi contiene solo potenze di 2 e/o di 5 dà luogo a un numero decimale finito;
- Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione in fattori primi non contiene nè potenze di due 2 nè potenze di 5 dà luogo a un numero periodico semplice;
- Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione in fattori primi contiene potenze di 2 e/o di 5 ma anche di altri numeri dà luogo a un numero periodico misto;
Frazione generatrice di un numero decimale periodico: la frazione generatrice di un numero decimale periodico è la frazione che ha:
Per numeratore la differenza tra il numero scritto senza virgola e il numero costituito da tutte le cifre (intere e decimali) che precedono il periodo;
Per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo.

PROPORZIONI

Proporzioni. Si chiama proporzione l'uguaglianza tra due rapporti. Quattro numeri razionali, diversi da zero vengono detti in proporzione se il rapporto dei primi due è uguale al rapporto degli ultimi due.
Proprietà fondamentale delle proporzioni: In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Proprietà dell'invertire: Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.
Proprietà del permutare: Scambiando tra loro i medi oppure gli estremi si ottiene ancora una proporzione.
Proprietà del comporre: La somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo come la somma del terzo e del quarto sta al terzo o al quarto.
Proprietà dello scomporre: La differenza tra il primo e secondo termine sta al primo o al secondo come la differenza tra il terzo e il quarto sta al terzo o al quarto.