Teoria degli integrali

Teoria degli integrali: definizioni e formule. Definizione di integrale da a a b di una funzione f: [a, b] ? R - Proprietà - In particolare se f: [a, b] ? R è continua allora f è integrabile 2) Problema della PRIMITIVA data f: ? R , trovare F: ? R derivabile con F ' = f 3) Come collegare 1) e 2) ? Con il 1° Teorema fondamentale del calcolo f: [a, b] ? R 1° teorema f continua ? ? F è derivabile e F ` = f .

(le continue ammettono primitiva e le costruisco)

Leggi anche Gli integrali indefiniti immediati

4) Il 2° Teorema fondamentale del calcolo mi aiuta a descrivere in maniera più precisa l'insieme delle PRIMITIVE di una funzione continua f: [a, b] ? R . Mi dice che differiscono tutte a meno di una costante. CASO GENERALE f: [a, b] ? R limitata SUDDIVISIONE a = a0 < a1 < .....< a n = b I 1 (f ) = SOMMA INTEGRALE INFERIORE = I 2 (f ) = SOMMA INTEGRALE SUPERIORE = Passando al sup di I 1 (f ) sulle suddivisioni

Leggi anche Spiegazione degli integrali

INTEGRALE INFERIORE di f . Passando all'inf di I 2 (f ) sulle suddivisioni ? INTEGRALE SUPERIORE di f . Se COINCIDONO ? f è INTEGRABILE secondo RIEMANN = integrale superiore = integrale inferiore INTEGRALI DEFINITI f ( x ) continua in [a, b] e ivi positiva. h i ampiezza degli intervalli m i valori minimi di f ( x i ) M i valori massimi di f ( x i ) < Area trapezoide < Rimpiccioliamo indefinitamente l'ampiezza degli intervalli Definizione dove dx è l'ampiezza h i che nel passaggio al limite è divenuta infinitesima.