Limiti e derivate

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Appunti di matematica sui limiti e sulle derivate. (2 pg - formato word) (0 pagine formato doc)

LIMITI DI FUNZIONE LIMITI DI FUNZIONE Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende al limite finito L per X ? X0 LIM F(X) = L X? X0 quando scelto un numero positivo E piccolo a piacere , è possibile determinare un intorno H completo del punto X0 tale che per tutti i valori di X appartenenti ad H , i valori corrispondenti della F(X) differiscano da L in valore assoluto meno di E .
| F(X) - L | < E L - E < F(X) < L + E Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a ? per X ? X0 LIM F(X) = ? X? X0 se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste un intorno completo H del punto X0 per ogni X del quale , risulta F(X) > M Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende al limite finito L per X ? ? LIM F(X) = L X ? ? se , fissato un numero positivo E piccolo a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| > X risulti | F(X) - L | < E Data una funzione Y=F(X) si dice che essa tende a ? per X ? ? LIM F(X) = ? X ? ? se , fissato un numero positivo M grande a piacere , esiste in corrispondenza un numero positivo X tale che per ogni |x| < X risulti | F(X) | > M CONVERGENTI : tendono a L DIVERGENTI : tendono a ? INDETERMINATE : non esiste un limite CRESCENTI : i valori che assume la variabile Y crescono al crescere dei valori di X X1 < X2 ? F(X1) < F(X2) DECRESCENTI : i valori che assume la variabile Y decrescono al crescere dei valori di X X2 > X1 ? F(X2) < F(X1) NON CRESCENTI : crescendo i valori di X , essa decresce o si mantiene costante NON DECRESCENTE :crescendo i valori di X , essa cresce o si mantiene costante Una funzione Y=F(X) , definita in un intervallo di estremi a e b , si dice CONTINUA in un punto X0 appartenente all'intervallo considerato se risulta : LIM F(X) = F(X0) X? X0 cioè se il limite al quale essa tende per X ? X0 è il valore F(X0) che essa assume in X0 CONDIZIONI : 1) esiste il valore della funzione nel punto X0 2) esiste il limite della funzione per X ? X0 3) il limite della funzione per X ? X0 coincide con il valore che la funzione assume in X0 Le funzioni che non hanno la X al denominatore sono sempre continue . FORME INDETERMINATE +? - ? ( +? -? ) ? : razionalizzazione zero .
? 0 / 0 : scomposizione ( L ? ) ? / ? : raccoglimento ( L 0 ? ) quando il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore il limite è ? quando il grado del denominatore è maggiore di quello del numeratore il limite è 0 quando i gradi sono uguali il limite è finito FORME DETERMINATE L / ? = 0 L / 0 = ? DERIVATE Si chiama derivata della funzione Y=F(X) nel punto X0 il limite , se esiste ed è finito , del rapporto incrementale ?Y/?X al tendere a zero dell'incremento ?X della variabile indipendente F'(X0) = LIM F(X0 + ?X) - F (X0) / ?X = LIM ?Y /?X ?X = h ?X? 0 ?X? 0 se una funzione è derivabile nel punto X0 essa è anche continua in X0 LIM F(X0 + h) = F(X0) h ? 0 non sempre una funzione continua è anche derivabile m(tg) = LIM F(X0 + h) - F(X0) / h h? 0 Y = Xm ? Y' = mX m-1 La derivata di una costante è