Massimi e minimi delle funzioni a più variabili

MASSIMI E MINIMI DELLE FUNZIONI A PIU' VARIABILI

Massimi e Minimi delle funzioni a più variabili.

Per trovare i punti di Massimo e Minimo in una funzione a più variabili, si procede allo stesso modo delle funzioni ad una sola variabile.
Per esempio se prendiamo in considerazione la funzione:
z= x2+y2-2x-4y
e ne facciamo le rispettive derivate prime:
zIx= 2x-2
zIy= 2y-4
dopodiché per trovare le coordinate del punto (P) si fa un sistema tra le derivate poste uguali a 0:  
 
      2x-2=0           2x=2                  x=2/2         x=1
      2y-4=0           2y=4                  y=4/2          y=2                           
                                                    
  P (1;2;....).

Come calcolare i massimi e i minimi relativi di una funzione: spiegazione

MASSIMI E MINIMI FUNZIONI A PIU' VARIABILI: ESERCIZI SVOLTI

Dopo fatto, per calcolare z, dobbiamo sostituire le coordinate di x e y alla funzione di partenza:
z=12+22-2(1)-4(2)  => 1+4-2-8 => -5
P(1;2;-5)
Ora per capire se il punto trovato corrisponde ad un punto di minimo, massimo o di sella, bisogna procedere con il calcolare le rispettive derivate seconde:
N.B.= Le derivate miste, secondo il teorema di Schwarz, sono sempre uguali.
pure:  zIIxx= 2                 zIIyy = 2
miste: zII xy= 0                 zII yx=0.

Funzioni e grafici

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI FUNZIONI A DUE VARIABILI

Dopo aver fatto ciò bisogna procedere con il calcolare il determinante Hessiano (dal matematico austriaco Hess).
(2) x (2) – (0) x (0)= 4

Ora invece si va ad osservare in quale delle seguenti situazioni ci troviamo:
             zIIxx >0 minimo
H>0  
             zIIyy HH=0  si procede con il vedere il comportamento di P nel suo intorno per    
        comprendere la natura del punto
Nel nostro caso:
H>0             zIIxx >0              P è un punto di Minimo.

 

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