Numeri naturali

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Appunto esauriente sulle caratteristiche dei numeri naturali, sulla loro somma e il loro prodotto (file.doc, 5 pag) (0 pagine formato doc)

DEFINIZIONE DI «NUMERO NATURALE» DEFINIZIONE DI «NUMERO NATURALE» Essi sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, e tutti quelli che si possono ottenere mettendo insieme queste dieci cifre.
Si dice anche che queste cifre sono la base della numerazione. Ma è proprio necessario avere queste dieci cifre per ottenere tutti i numeri naturali? Consideriamo per esempio un treno. Proviamo a contare i vagoni, iniziando dal primo; sotto scriviamo il numero 1; consideriamo ora il primo e il secondo e scriviamo sotto ognuno di essi ancora il numero 1, se facciamo la somma abbiamo 1+1 = 2. Nello stesso modo procediamo con gli altri vagoni, accostandone sempre uno nuovo: questo per noi vuol dire fare (1+1)+1 = 3, dove la parentesi serve a indicare che conosciamo già il risultato della somma 1+1; scriviamo allora: 2+1 = 3.
Abbiamo così: 1; 1+1 = 2; (1+1)+1 = 2+1 = 3; (1+1+1)+1 = 3+1 = 4; e così via, se vogliamo considerare altri vagoni al di fuori di quelli disegnati. A partire da 1 abbiamo ottenuto via via 2, 3, 4; volendo, si può ottenere così ogni altro numero. Anche i numeri molto grandi, per esempio 1.950.628, possono essere ottenuti da 1 in questo modo, anche se ci sarebbe bisogno di moltissimo spazio... e di una pazienza quasi infinita. La nostra prima conclusione è quindi: I. Ogni numero naturale è ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1. Per capire meglio facciamo un esempio: 1,5 è un numero naturale? Per rispondere verifichiamo se può essere ottenuto da 1 aggiungendo successivamente 1. Ma 1+1 = 2, e 2 è sicuramente più grande di 1,5; da ciò concludiamo che 1,5 non è un numero naturale; è infatti un numero decimale. Facciamo un'altra osservazione importante che segue facilmente da quanto abbiamo detto: II. Se a un qualunque numero naturale aggiungiamo 1 otteniamo ancora un numero naturale. Infatti 5, poiché è ottenuto da 1 ponendo 5 = 1+1+1+1+1, è un numero naturale; per quanto abbiamo detto nel punto I, anche il numero 6 = 5+1 è un numero naturale, poiché è ottenuto aggiungendo successivamente 1. Un numero naturale ottenuto aggiungendo 1 a un altro numero naturale si dice successore di quest'ultimo numero. Ad esempio: dato 10, formiamo il successore di 10, che sarà 10+1 = 11. Lo stesso numero 10 può essere visto come successore di 9, ponendo 9+1 = 10. Se approfondiamo quest'ultima osservazione e notiamo che il numero 2 può essere visto come successore di 1, il numero 3 come successore di 2, eccetera, possiamo concludere che ogni numero naturale è successore di un numero più piccolo. Ma risulta vera proprio per tutti i numeri questa frase? Per la precisione: è vera per il numero 1? In altre parole: il numero 1 di che numero è successore? Se partiamo con 1 nel nostro processo di formare nuovi numeri, allora dobbiamo arrenderci e dire che 1 non è il successore di nessun numero, poiché in base al punto I abbiamo detto che ogni numero naturale è ottenuto da 1, senza spiegare da dove esso viene. Per fare in modo che anche 1 sia un successore, sia cioè ottenuto