Le omotetie

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Un’omotetia è una trasformazione in cui tutte le lunghezze s’ingrandiscono o si rimpiccioliscono nello stesso rapporto in tutte le direzioni.... (1 pagine formato doc)

LE OMOTETIE LE OMOTETIE Oltre alle trasformazioni isometriche, esistono anche delle trasformazioni che non conservano le lunghezze dei segmenti.
Una di queste trasformazioni è l'omotetia, dove, pur variando la lunghezza dei segmenti che si corrispondono, si mantiene costante il loro rapporto. Un'omotetia è una trasformazione in cui tutte le lunghezze s'ingrandiscono o si rimpiccioliscono nello stesso rapporto in tutte le direzioni. Ogni omotetia è caratterizzata da un punto O, ossia il centro dell'omotetia, e da un numero reale k, cioè il rapporto dell'omotetia. L'omotetia può essere spiegata nel seguente modo: Fissiamo un punto O in un piano ?; Fissiamo un altro punto P nello stesso piano; Tracciamo la retta che passa per i punti OP.
A questo punto fissiamo un numero reale k, sappiamo che esiste un solo punto P' ? per cui vale la relazione OP'/OP = k. Se è k > 0 allora il punto P' ed il punto P si trovano dalla stessa parte rispetto ad O; Se è k < 0 allora il punto P' si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O; Se è k = 0 allora il segmento OP' è nullo e quindi qualunque punto P ha come corrispondente il punto O. L'omotetia escludendo il caso in cui k = 0 è una corrispondente biunivoca fra i punti di ?. Ora possiamo passare alla rappresentazione dell'omotetia sul piano cartesiano. Dato il punto P (x, y), il suo corrispondente in tale trasformazione deve appartenere alla retta OP e deve essere tale che OP'/OP = k. La relazione che c'è tra P e P' è la stessa che c'è tra le coordinate. Indichiamo allora con (x', y') le coordinate del punto P' ed otteniamo che: x' = kx y' = ky Queste sono le equazioni della trasformazione in cui moltiplico entrambe le coordinate del punto P per il rapporto d'omotetia k. Ora vediamo come si trasforma un grafico di una funzione in un'omotetia ed otteniamo le seguenti equazioni: x = (1/k) x' x x/k y = (1/k) y' y y/k Possiamo anche dire che: Se è k > 1 allora si ha un ingrandimento ; Se è k < 1 allora si ha una riduzione.