Le omotetie

LE OMOTETIE LE OMOTETIE Oltre alle trasformazioni isometriche, esistono anche delle trasformazioni che non conservano le lunghezze dei segmenti. Una di queste trasformazioni è l'omotetia, dove, pur variando la lunghezza dei segmenti che si corrispondono, si mantiene costante il loro rapporto. Un'omotetia è una trasformazione in cui tutte le lunghezze s'ingrandiscono o si rimpiccioliscono nello stesso rapporto in tutte le direzioni. Ogni omotetia è caratterizzata da un punto O, ossia il centro dell'omotetia, e da un numero reale k, cioè il rapporto dell'omotetia. L'omotetia può essere spiegata nel seguente modo: Fissiamo un punto O in un piano ?; Fissiamo un altro punto P nello stesso piano; Tracciamo la retta che passa per i punti OP. A questo punto fissiamo un numero reale k, sappiamo che esiste un solo punto P' ? per cui vale la relazione OP'/OP = k. Se è k > 0 allora il punto P' ed il punto P si trovano dalla stessa parte rispetto ad O; Se è k < 0 allora il punto P' si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O; Se è k = 0 allora il segmento OP' è nullo e quindi qualunque punto P ha come corrispondente il punto O. L'omotetia escludendo il caso in cui k = 0 è una corrispondente biunivoca fra i punti di ?. Ora possiamo passare alla rappresentazione dell'omotetia sul piano cartesiano. Dato il punto P (x, y), il suo corrispondente in tale trasformazione deve appartenere alla retta OP e deve essere tale che OP'/OP = k. La relazione che c'è tra P e P' è la stessa che c'è tra le coordinate. Indichiamo allora con (x', y') le coordinate del punto P' ed otteniamo che: x' = kx y' = ky Queste sono le equazioni della trasformazione in cui moltiplico entrambe le coordinate del punto P per il rapporto d'omotetia k. Ora vediamo come si trasforma un grafico di una funzione in un'omotetia ed otteniamo le seguenti equazioni: x = (1/k) x' x x/k y = (1/k) y' y y/k Possiamo anche dire che: Se è k > 1 allora si ha un ingrandimento ; Se è k < 1 allora si ha una riduzione.