Principio di induzione

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Spiegazione del principio di induzione, nell'ambito del calcolo combinatorio: il procedimento da seguire ed esercizi esemplificativi. (2 pg - formato word) (0 pagine formato doc)

Pag -Principio di induzione- P è una proposizione matematica di cui valutare la validità in un insieme di elementi.
Le condizioni necessarie sono: P è vera per il primo elemento utile Se P si ritiene vera per un generico elemento (ipotesi induttiva) e da ciò segue che la proprietà è vera per l'elemento successivo, allora P è vera per ogni elemento. Esercizio: 2+4+6+…+2n=n(n+1) n ? N0 considerato l'insieme in cui è definito n, il primo elemento utile fra i naturali escluso lo 0, è1. Quindi uguaglio il primo e il secondo membro, sostituendo 1 a n. n=1 2?1=1(1+1) 2=2 La proposizione è dimostrata per il primo elemento utile.
devo considerare l'elemento successivo a n, cioè n+1. Devo dimostrare che: 2+4+6+…+2n +2(n+1) = (n+1)(n+1+1) Per ipotesi 2+4+6+…+2n è uguale a n(n+1) Quindi pongo: n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)(n+1+1) Risolvo l'identità dimostrando che i due membri sono uguali. n2 + n + 2n + 2 = n2 + 2n + n +2 Esercizio: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 n ? N0 Il primo elemento utile è 1 2*1-1=1 1=1 n=n+1 1+3+5+...+(2n-1) + (2*(n+1)-1) = (n+1)2 Per ipotesi 1+3+5+...+(2n-1) è uguale a n2 Quindi pongo: n2+ (2*(n+1)-1) = (n+1)2 n2 + 2n + 2 - 1= n2 + 2n + 1 n2 + 2n + 1= n2 + 2n + 1 Esercizio: 1+5+9+...+(4n - 3)=n(2n-1) n ? N0 n=1 4-3=2-1 1=1 n=n+1 1+5+9+...+(4n-3) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1) Per ipotesi 1+5+9+...+(4n-3) è uguale a n(2n-1) n(2n-1) + (4(n+1)-3) = (n+1) (2(n+1)-1) 2n2 - n + 4n + 4 - 3 = 2n2 +n + 2n + 1 2n2 + 3n + 1 = 3n + 1 + 2n2