Sistemi di equazioni di primo grado

SALVE REGINA Sistemi Si dice sistema di equazioni l'insieme di due o più equazioni nelle stesse variabili che sono verificate contemporaneamente dai medesimi valori attribuiti alle incognite. Dato un sistema di due o più equazioni in altrettante incognite, si dice soluzione del sistema un insieme di valori delle incognite che verificano contemporaneamente tutte le equazioni. Un sistema di equazioni si dice intero se tutte le equazioni se tutte le equazioni che lo costituiscono sono intere, si dice fratto se almeno un'equazione è fratta. Si dice grado di un sistema intero di equazioni il prodotto dei gradi delle equazioni che costituiscono il sistema. Si dice sistema numerico ogni sistema in cui i coefficienti delle incognite sono tutti numeri, si dice letterale ogni sistema di equazioni nelle quali uno o più coefficienti contengono lettere. Si dice che due sistemi di equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni del primo sono anche soluzioni del secondo e tutte le soluzioni secondo sono anche soluzioni del primo. Un sistema di equazioni che ammette un numero finito di soluzioni si dice determinato. Un sistema di equazioni che ammette un numero infinito di soluzioni si dice indeterminato. Un sistema di equazioni che non ammette soluzioni si dice impossibile. PRIMO PRINCIPIO di EQUIVALENZA dei SISTEMI Se si sostituisce un'equazione di un sistema con un'altra equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. SECONDO PRINCIPIO di EQUIVALNZA dei SISTEMI Se si ricava da un'equazione di un sistema un'incognita in funzione di un'altra e si sostituisce l'espressione così ottenuta, al posto dell'incognita, in un'altra equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. TERZO PRINCIPIO di EQUIVALENZA dei SISTEMI Dato un sistema di equazioni, si ottiene un sistema equivalente a quello dato, se a un'equazione se ne sostituisce un'altra ottenuta addizionando (o sottraendo) membro a membro le equazioni del sistema. Teorema ax + by = c a/a' b/b' c/c' a'x + b'y = c Metodo della sostituzione x + y = 5 x = 5 - y x = 5 - y x = 5 - 3 x = 2 x - y = - 1 5 - y - y = -1 -2y = - 6 y = 3 y = 3 Metodo del confronto x + y = 5 x = 5 - y x = 5 - 3 x = 2 x - y = - 1 x = y - 1 y = 3 y = 3 Metodo dei determinanti o regola di Cramer Si chiama matrice quadrata di ordine 2 una tabella con 4 numeri disposti in linee orizzontali dette righe e in linee verticali dette colonne M = Si dice Determinante di una matrice quadrata di ordine 2 A = il numero ps - qr, ottenuto moltiplicando i numeri della diagonale principale, e sottraendo da questo prodotto quello dei numeri della diagonale secondaria. D = x + y = 5 x = Dx / D = = [-5 - (-1)] / [-1 - 1)] = - 4 / -2 = 2 x - y = - 1 x = 2 y = 3 y = Dy / D = = (-1 - 5) / (-1 - 1) = -6 / -2 = 3 Metodo della riduzione x + 3y = -1 3x + 9y = -3 x + 3y = -1 x -39/11 = -1 x = 28 / 11 3x - 2y = 10 3x -2y = 10 y = -13/11 y = -13 / 11 y = -13/ 11 Determinata a/a' ? b/b' Indeterminata a/a' = b/b' = c/c' Impossibile a/a'