Teorema del coseno (Carnot) e delle tangenti

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Descrizione dettagliata e dimostrazione del teorema del coseno o di Carnot e delle tangenti (2 pagine formato doc)

Teorema del coseno (o Carnot) e delle tangenti

Teorema del coseno (o Carnot)

Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli.

In un triangolo il quadrato costruito su un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso.


Consideriamo il triangolo qualunque : tracciata l'altezza relativa alla base, otteniamo due triangoli rettangoli con un cateto in comune .
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo :


Per il teorema sui triangoli rettangoli applicato sul triangolo , avremo che:

[...]

Sostituendo i valori di e nella prima espressione, avremo

[...]

da cui, svolgendo i calcoli, e tenuto conto che , si ha:


[...]


Allo stesso modo si trovano anche le altre due relazioni:


[...]


Teorema delle tangenti

In ogni triangolo la somma dei due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza.

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