teoremi del triangolo isoscele

TEOREMI DEL TRIANGOLO ISOSCELE TEOREMI DEL TRIANGOLO ISOSCELE TEOREMA: “un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali” IPOTESI: è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che i lati AB e AC sono uguali. TESI: dobbiamo dimostrare che i suoi angoli alla base ACB ed ABC, opposti ad AB e ad AC, sono essi pure uguali. DIMOSTRAZIONE: sui prolungamenti dei lati AB ed AC prendiamo due segmenti uguali BD=CE ed unendo B con E e C con D consideriamo i triangoli ACD ed ABE. Essi hanno: AC=AB per ipotesi (lati uguali di un triangolo isoscele) AD=AE perché somma di segmenti uguali ANGOLO DAC=EAB in comune Quindi saranno uguali per il primo criterio d'uguaglianza, e quindi saranno uguali anche i lati DC=EB. Poiché a lati uguali stanno opposti angoli uguali, ne segue ADC=AEB. A questo punto consideriamo i triangoli DBC ed ECB. Anch'essi sono uguali per il primo criterio d'uguaglianza, in quanto hanno: BD=CE per costruzione DC=EB perché ora dimostrato BDC=CEB perché ora dimostrato Quindi risultano uguali anche gli angoli DBC ed ECB, che stanno opposti ai lati uguali DC ed EB. A questo punto osserviamo che questi ultimi due angoli formano angoli piatti con ciascuno degli angoli alla base del triangolo isoscele. Perciò possiamo concludere affermando che gli angoli alla base del triangolo isoscele sono uguali tra loro, in quanto supplementari di angoli uguali. 2 (inverso del n° 1) TEOREMA: “un triangolo che ha due angoli uguali ha pure uguali i lati opposti a questi, per cui esso è isoscele” IPOTESI: è dato un triangolo ABC del quale sappiamo che gli angoli in B ed in C sono uguali. TESI: Vogliamo dimostrare che i lati AC ed AB, ad essi opposti, sono anche loro uguali. DIMOSTRAZIONE: sui prolungamenti dei lati AB ed AC consideriamo i segmenti uguali BD e CE. Congiungendo B con E e C con D, consideriamo i triangoli DBC ed ECB che saranno uguali per il primo criterio d'uguaglianza, in quanto hanno: BC --- in comune BD=CE per costruzione DBC=BCE perché adiacenti agli angoli uguali ABC ed ACB Dall'uguaglianza di tali triangoli discende che: ADC=AEB DC=BE BCD=CBE Sommando a membro a membro l'uguaglianza BCD=CBE con l'uguaglianza, nota per ipotesi, ACB=ABC, otteniamo ACD=ABE. A questo punto consideriamo i triangoli ACD ed ABE, che saranno uguali per il secondo criterio d'uguaglianza, avendo uguali due angoli ed il lato tra essi compreso, cioè: ACD=ABE ADC=AEB DC=BE Ne consegue l'uguaglianza dei lati AC ed AB che stanno opposti ai due angoli uguali in D ed in E.