I vettori nello spazio

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Definizione di vettore, vettori liberi ed applicati. I cursori. Modulo, direzione e verso di un vettore libero. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Dipendenza lineare. Parallelismo e complanarità tra vettori. Il prodotto scalare (0 pagine formato doc)

VETTORI NELLO SPAZIO VETTORI NELLO SPAZIO Definizione di vettore.
Un vettore è un segmento orientato equipollente. Siano AB, CD due segmenti orientati dello spazio, individuati rispettivamente da coppie ordinate di punti A,B e C,D. Diremo che AB, CD sono segmenti orientati equipollenti se: se B coincide con A, anche D coincide con C; AB, CD appartengono alla stessa retta e sono uguali e concordi; AB, CD appartengono a rette parallele e le rette AD, CD congiungenti rispettivamente i primi e i secondi estremi dei sui segmenti sono paralleli. Due segmenti orientati sono equipollenti se hanno lunghezza nulla oppure se hanno lunghezza, direzione e verso uguali. Una classe di equipollenza è costituita da tutti e soli i segmenti orientati equipollenti ad un altro segmento.
AB, CD della figura sopra appartengono alla stessa classe e quindi uno di essi può essere scelti come rappresentante della classe. Vettori liberi ed applicati, cursori. DEF. Si dice vettore libero ogni classe di equipollenza di segmenti orientati nello spazio. DEF. Il rappresentante di un vettore u si dice vettore u applicato in A; si dice che A è il punto di applicazione di u e che la retta passante per A e parallela ad u è la retta d'azione di u. Il vettore applicato in A si indica con (u, A). Se si considerano equipollenti i vettori (u, P) quando P varia su una retta r parallela ad u, si ottiene il concetto di cursore. Con riferimento alla figura 3, si ha: i tre segmenti orientati AB, CD, EF rappresentano lo stesso vettore libero u; i segmenti orientati AB, CD, EF sono tre vettori applicati (u, A), (u, C), (u, E) fra loro distinti; i due segmenti orientati AB, CD sono rappresentati dello stesso cursore (u,r) mentre EF non è rappresentante di tale cursore. Modulo, direzione e verso di un vettore libero. La classe di equipollenza costituita da tutti i segmenti di lunghezza nulla si dice vettore nullo e si indica con 0. un vettore non nullo u è individuato dalla direzione, dal verso e dalla lunghezza detti direzione, verso e modulo di u. Il modulo di u si indica con . Il vettore nullo ha modulo 0, direzione e verso indeterminati. Il vettore di modulo 1 si chiama versore; si dice versore di un vettore u (non nullo) e si indica con vers u il vettore avente il verso di u e modulo 1. Somma di vettori. L'operazione di somma di vettori è la legge che associa ad ogni coppia di vettori (u, v)il vettore, che si dice somma di u e v e si indica con u+v, così definito: scelti come rappresentanti di u e v i segmenti orientati AB e BC rispettivamente, il segmento orientato AC rappresenta u+v. Regola del parallelogramma. Scelti come rappresentanti di u e v i segmenti orientati AB, AC rispettivamente, si costruisce il parallelogramma ABCD; il segmento orientato AD rappresenta u+v. Proprietà. commutativa: associativa: il vettore nullo è l'elemento neutro rispetto alla somma: esiste, , uno e un solo vettore, che si dice opposto ad u e si indica con -u, tale che . È facile verificare che Prodotto di un