Serie storiche: processo stocastico, white noise e autocovarianza
Spiegazione sulla stazionarietà di un processo stocastico, definizioni di ergodicità, invertibilità, periodicità, introduzione al concetto di autocovarianza e di autocorrelazione (6 pagine formato doc)
Per conoscere un processo
stocastico è necessaria la conoscenza dei momenti.
In
particolare i momenti primo e secondo.
(quindi dipendenti dal tempo t), che abbiamo assunto stazionarie rispetto al tempo t, quindi rimangono costanti.
Bisogna considerare però anche il processo multivariato.
STAZIONARIETÀ DI UN PROCESSO STOCASTICO
Xt è un processo stocastico in senso stretto se, qualora esistano, i suoi momenti non sono funzioni di t. Ovvero che la distribuzione multivariata delle variabili casuali non è funzione di
In un contesto multinormale, la matrice Σ sostituisce .
La funzione di distribuzione normale è definita solo dai primi due momenti (), e ciò anche per la multinormale, anche se esistono distribuzioni che hanno più di due momenti, quindi in quel caso dovrei studiare e definire più di due momenti.
È evidente che le due medie, calcolate in questi 2 momenti, sono diverse tra di loro.
Se il processo era stazionario in media, le due medie erano uguali, indipendentemente dal momento in cui effettuo la misurazione.
Stazionarietà in media
Xt è un processo stocastico stazionario in senso debole se:
Quindi la media deve essere una costante, uguale per tutti i momenti.
Anche la varianza deve essere costante e finita, uguale per tutti i momenti.
L'autocovarianza in qualsiasi momento deve essere sempre γ(k), quindi l'autocovarianza dipende solamente dalla distribuzione longitudinale. Più due serie sono vicine, in senso longitudinale, e più sarà grande questo valore.
In conclusione la stazionarietà in senso debole dipende solo dai primi due momenti.
Sotto la condizione di normalità la definizione di stazionarietà in senso stretto (o forte) e in senso debole, coincidono.
Questo perché la funzione di densità normale è definita solo dai primi due momenti.
Con questa regola, da ora in poi si parlerà di stazionarietà in generale, senza specificare, in quanto nell'ipotesi di normalità sono la stessa cosa.
(quindi dipendenti dal tempo t), che abbiamo assunto stazionarie rispetto al tempo t, quindi rimangono costanti.
Bisogna considerare però anche il processo multivariato.
STAZIONARIETÀ DI UN PROCESSO STOCASTICO
Xt è un processo stocastico in senso stretto se, qualora esistano, i suoi momenti non sono funzioni di t. Ovvero che la distribuzione multivariata delle variabili casuali non è funzione di
In un contesto multinormale, la matrice Σ sostituisce .
La funzione di distribuzione normale è definita solo dai primi due momenti (), e ciò anche per la multinormale, anche se esistono distribuzioni che hanno più di due momenti, quindi in quel caso dovrei studiare e definire più di due momenti.
È evidente che le due medie, calcolate in questi 2 momenti, sono diverse tra di loro.
Se il processo era stazionario in media, le due medie erano uguali, indipendentemente dal momento in cui effettuo la misurazione.
Stazionarietà in media
Xt è un processo stocastico stazionario in senso debole se:
Quindi la media deve essere una costante, uguale per tutti i momenti.
Anche la varianza deve essere costante e finita, uguale per tutti i momenti.
L'autocovarianza in qualsiasi momento deve essere sempre γ(k), quindi l'autocovarianza dipende solamente dalla distribuzione longitudinale. Più due serie sono vicine, in senso longitudinale, e più sarà grande questo valore.
In conclusione la stazionarietà in senso debole dipende solo dai primi due momenti.
Sotto la condizione di normalità la definizione di stazionarietà in senso stretto (o forte) e in senso debole, coincidono.
Questo perché la funzione di densità normale è definita solo dai primi due momenti.
Con questa regola, da ora in poi si parlerà di stazionarietà in generale, senza specificare, in quanto nell'ipotesi di normalità sono la stessa cosa.