Il Teorema di Barone
Appunto inviato da saracinescu
Descrizione, dimostrazione e conseguenze sul sistema economico del Teorema di Barone (10 pagine formato pdf)
Teorema di Barone
1.1 Ipotesi:
1.
Esistono due beni, x1 e x2;
2. i cui prezzi dei beni sono rispettivamente q1 e q2;
3. è dato un reddito pari a R.
Il consumatore rappresentativo massimizza una funzione di utilità neo-
classica1 soggetta al vincolo di bilancio. Il problema è pertanto:
maxx1;x2 u (x1; x2)
s.a
R =
2 Xi=1
pixi
1.2 Soluzione senza imposte
Per calcolare la soluzione si applica la funzione di Lagrange:
L = u (x1; x2) + R
2 Xi=1
pixi! (1)
dove è il moltiplicatore di Lagrange2. Le condizioni del primo ordine ri-
cavabili da (1) sono pari a:
@L
@x1
=
@u (x1; x2)
@x1 p1 = 0; (2)
@L
@x2
=
@u (x1; x2)
@x2 p2 = 0: (3)
1Con utilità marginale decrescente, vale a dire con
@2u (x1; x2)
@ (xi)2 < 0 per i = 1; 2:
2 Il moltiplicatore di Lagrange misura il prezzo ombra dei beni. Riscriviamo le due condizioni (2) e (3) come segue:
@u(x1;x2)
@x1
= p1;
@u(x1;x2)
@x2
= p2;
e dividiamo membro a membro così da ottenere la condizione di ottimalità:
@u(x1;x2)
@x1
@u(x1;x2)
@x2
=
p1
p2
=
p1
p2
: (4)
La condizione (4) individua il paniere ottimale (x1; x2) ; cioè quello che
garantisce l’uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione fra i beni x1
e x2; cioè @u(x1;x2)
@x1 .@u(x1;x2)
@x2
; ed il prezzo relativo dei due beni p1
p2
:
1.3 La soluzione con un’accisa (imposta indiretta) sul
bene x1
Con l’introduzione di un’accisa (unit tax) sul bene x1 i prezzi lordi sono
rispettivamente q1 = p1 + t1 e q2 = p2. In questo caso, il problema sarà
maxx1;x2 u (x1; x2)
s.a
R =
2 Xi=1
qixi
e dalle condizioni del primo ordine avremo
@u(x1;x2)
@x1
= (p1 + t1) ;
@u(x1;x2)
@x2
= p2;
In questo caso la soluzione sarà pari a:
@u(x1;x2)
@x1
@u(x1;x2)
@x2
=
(p1 + t1)
p2
=
p1 + t1
p2
: (5)
Qual è l’e¤etto dell’accisa?