Il Teorema di Barone

Teorema di Barone 1.1 Ipotesi: 1. Esistono due beni, x1 e x2; 2. i cui prezzi dei beni sono rispettivamente q1 e q2; 3. è dato un reddito pari a R. Il consumatore rappresentativo massimizza una funzione di utilità neo- classica1 soggetta al vincolo di bilancio. Il problema è pertanto: maxx1;x2 u (x1; x2) s.a R = 2 Xi=1 pixi 1.2 Soluzione senza imposte Per calcolare la soluzione si applica la funzione di Lagrange: L = u (x1; x2) +  R 􀀀 2 Xi=1 pixi! (1) dove  è il moltiplicatore di Lagrange2. Le condizioni del primo ordine ri- cavabili da (1) sono pari a: @L @x1 = @u (x1; x2) @x1 􀀀 p1 = 0; (2) @L @x2 = @u (x1; x2) @x2 􀀀 p2 = 0: (3) 1Con utilità marginale decrescente, vale a dire con @2u (x1; x2) @ (xi)2 < 0 per i = 1; 2: 2 Il moltiplicatore di Lagrange misura il prezzo ombra dei beni. Riscriviamo le due condizioni (2) e (3) come segue: @u(x1;x2) @x1 = p1; @u(x1;x2) @x2 = p2; e dividiamo membro a membro così da ottenere la condizione di ottimalità: @u(x1;x2) @x1 @u(x1;x2) @x2 = p1 p2 = p1 p2 : (4) La condizione (4) individua il paniere ottimale (x1; x2) ; cioè quello che garantisce l’uguaglianza tra il saggio marginale di sostituzione fra i beni x1 e x2; cioè @u(x1;x2) @x1 .@u(x1;x2) @x2 ; ed il prezzo relativo dei due beni p1 p2 : 1.3 La soluzione con un’accisa (imposta indiretta) sul bene x1 Con l’introduzione di un’accisa (unit tax) sul bene x1 i prezzi lordi sono rispettivamente q1 = p1 + t1 e q2 = p2. In questo caso, il problema sarà maxx1;x2 u (x1; x2) s.a R = 2 Xi=1 qixi e dalle condizioni del primo ordine avremo @u(x1;x2) @x1 =  (p1 + t1) ; @u(x1;x2) @x2 = p2; In questo caso la soluzione sarà pari a: @u(x1;x2) @x1 @u(x1;x2) @x2 =  (p1 + t1) p2 = p1 + t1 p2 : (5) Qual è l’e¤etto dell’accisa?