I centri: la moda, la meridiana e i quartili

LEZIONE 5 LEZIONE  5I  CENTRI         In questa lezione definiremo il concetto di centro;  in particolare studieremo il centro di ordine zero, cioè la moda ed il centro di ordine uno cioè la mediana; parleremo infine di quantili.  Al termine di tale lezione saremo in grado di calcolare la moda , la mediana ed alcuni importanti quartili.         Il concetto di  centro         Lo scopo della statistica è quello di riassumere il più possibile l'informazione derivante da una distribuzione; questo scopo è parzialmente raggiunto con i centri, cioè dei valori che riassumono il fenomeno descritto nella distribuzione. Fermo restando che anche le medie viste in precedenza sono dei centri, soffermiamoci in particolare sulla moda e sulla mediana.          Per approfondimenti sul tema ed esempi vedere il documento " Moda e mediana " a pag. 3.         La  moda         La moda è, analiticamente, il centro di ordine zero;  in pratica non è altro che la modalità che si presenta con maggior frequenza.  Inoltre è l'unica media calcolabile per caratteri qualitativi.         Il calcolo della moda è molto più semplice di quanto visto nel PDF  "Moda e mediana", infatti, in presenza di una distribuzione di frequenze la moda è semplicemente la modalità che presenta la più alta frequenza.          Se la distribuzione è divisa in classi, bisogna, prima di tutto rendere le classi di uguale ampiezza se non lo sono già ed in seguito vedere quale classe presenta la frequenza più elevata; questa sarà chiamata classe modale.  Ancora più semplicemente, se le classi presentano diverse ampiezze si calcola la moda considerando non più la frequenza più elevata ma la densità media più elevata, cioè il rapporto fra la frequenza di una classe e la sua ampiezza.  Una volta determinata la classe modale si può rintracciare il valore modale all'interno della classe  semplicemente calcolando il valore centrale della classe. Ad esempio, se la classe è 10 - 30, il valore centrale è 20.         La  mediana         La mediana è  definita come il centro di ordine uno ed in particolare è quell'unità che divide in due parti di uguale numerosità una distribuzione secondo un carattere ordinato; ovviamente ognuna di queste due parti avrà il 50% delle unità totali presenti nella distribuzione.         Anche in questo caso il calcolo dell'unità mediana è più facile di quel che sembra: consideriamo per semplicità una distribuzione unitaria ed immaginiamo di mettere in fila tutte le  n unità. A questo punto bisogna fare una distinzione: se n è dispari: allora l'unità mediana è quella di che occupa il posto  (n+1)/2; se, per esempio abbiamo una distribuzione di 7 unità totali, l'unità mediana è la 4°. se n è pari: abbiamo due unità che occupano i posti centrali, ovvero l'unità del posto (n/2) e quella del posto (n/2)+1. Se queste due unità presentano modalità diverse allora abbiamo due modalità mediane altrimenti abbiamo una sola modalità mediana.         Nel caso di un carattere distribuito in classi, la