Approssimazione di dati e funzioni: esercizi svolti

Esercizio 1.  Costruire il polinomio di interpolazione (utilizzando la formula di Newton
alle differenze divise) associato ai seguenti punti:
(1, − 1)   (0, 1)   ( − 1, 2)   ( − 2, 1)

SUGGERIMENTI PER SCOMPORRE UN POLINOMIO (Clicca qui >>)

Risposta.  Osserviamo preliminarmente che per quattro punti del piano, con ascisse dis-
tinte, passa uno ed un solo polinomio di grado 3. Quindi, formiamo la tabella delle differenze
divise necessaria per costruire il polinomio di interpolazione:

APPUNTI SUI POLINOMI (Clicca qui >>)

Esercizio  2.   Siano  f(x)  =  sin(x)  e  x1, x2, x3 tre  punti  equidistanti  (e  ordinati)  dell’
intervallo [0, π]. Scrivere l’espressione del polinomio interpolante i dati assegnati mediante
la base fondamentale di Lagrange.

MATEMATICA GENERALE (Clicca qui >>)

Risposta.   Ricordiamo che,  indicati con l1, l2, l3 i polinomi della base fondamentale di
Lagrange associati alla partizione { x1, x2, x3 } , e con { y1, y2, y3 } le corrispondenti ordinate,
l’espressione del polinomio interpolante nella suddetta base `e data da
p2 (x) = y1l1 (x) + y2l2 (x) + y3l3 (x).
Poich´e x = { x1, x2, x3 } = { 0, π/2, π } e y = { y1, y2, y3 } = { 0, 1, 0 } , `e sufficiente calcolare il
polinomio di Lagrange l2 associato al secondo nodo della partizione.