Esercitazioni sui derivati

Appunto inviato da saracinescu
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Matematica per i Derivati. Esercizi e soluzioni per una buona preparazione (12 pagine formato pdf)

...Decidere, osservando le traiettorie, a quale dei 3 processi stocastici elencati esse possano appartenere.
Soluzione: Per quanto riguarda la prima e la seconda gura, possiamo notare che alcune traiettorie assumono valori negativi. Questo non può avvenire per traiettorie rappresentative del processo G(t); infatti, essendo tale processo caratterizzato dalla funzione esponenziale, possiamo sicuramente concludere che tutte le sue traiettorie saranno rappresentabili come funzioni deterministiche positive. Nella terza figura, e traiettorie sono tutte positive e tendono ad assumere una forma esponenziale crescente; si tratta infatti della parte deterministica di G(t), ossia e t con t > 0. Possiamo quindi concludere che esse provengono dal processo G(t). Per quanto riguarda le prime due figure, notiamo che la prima mostra traiettorie che tendono a disporsi attorno alla retta orizzontale di quota 1, quota di partenza delle traiettorie delle 3 figure. La seconda e figura fa vedere traiettorie che h tendono a disporsi attorno ad una retta con inclinazione positiva ed ordinata all’origine pari ad 1.
Possiamo quindi concludere che le traiettorie della prima figura provengono dal processo S(t), mentre le traiettorie della seconda figura corrispondono al processo D(t), detto anche moto browniano con drift (positivo nel nostro caso); il drift del processo D(t) è dato dalla parte deterministica ut+ 1 > 0.