Leggi di Keplero: spiegazione

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Relazione sulle tre Leggi di Keplero sul moto dei pianeti: la legge delle orbite, la legge delle aree e la legge dei tempi (4 pagine formato docx)

LEGGI DI KEPLERO

Keplero formulò in tre leggi la descrizione del moto dei pianeti attorno al Sole:
1.

I pianeti descrivono intorno al Sole orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.
Il punto più vicino e quello più lontano dal Sole sono detti, rispettivamente, perielio e afelio.
2.
Il segmento che unisce il Sole a un pianeta spazza, durante il moto del pianeta, aree uguali in intervalli di tempo uguali.
Poiché le due aree sono uguali, il cammino percorso lungo l’orbita è più breve vicino all’afelio e più lungo vicino al perielio. Ciò vuol dire che la velocità del pianeta è minima all’afelio e massima al perielio.
3. I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono direttamente proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
T²/a³ = k
Il periodo di rivoluzione aumenta con la distanza dei pianeti dal sole.
- Momento di inerzia rispetto al centro di rotazione: se m è la massa di un punto materiale in moto circolare e r è il raggio della sua traiettoria, il momento di inerzia del punto rispetto al centro di rotazione è dato dal prodotto della massa per il quadrato del raggio: I = m r²
la sua unità di misura è il kg · m².
se un corpo esteso ruota attorno ad un asse, il suo momento di inerzia rispetto all’asse è la somma dei momenti di inerzia di tutte le particelle componenti: I = m1r²1 + m2r²2 + …
- Modulo del momento angolare: il modulo L del momento angolare di un punto materiale rispetto a un punto O dello spazio è il prodotto fra il modulo Q della quantità di moto del punto materiale e il braccio b di questa rispetto a O: L = Q · b
La sua unità di misura è il kg · m²/s oppure J · s.
- Il momento angolare totale L di un sistema di punti n punti materiali rispetto a un punto O è dato dalla somma dei momenti angolari L1, L2, …Ln dei singoli punti materiali, calcolati tutti rispetto a O: L = L1 + L2 + … Ln
- Equazione del moto rotatorio: se a un corpo è applicato, per un intervallo di tempo delta t, un momento torcente costante M rispetto a un punto O, il prodotto M delta t è uguale alla variazione delta L del momento angolare del corpo rispetto a O: M delta t = delta L

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PRIMA LEGGE DI KEPLERO DIMOSTRAZIONE

L’applicazione di un momento torcente rispetto a un punto O è la causa della variazione del momento angolare rispetto a O.

- Momento angolare di un corpo esteso rispetto a un asse fisso: il momento angolare di un corpo esteso rispetto all’asse di rotazione z, fisso rispetto al sistema di riferimento prescelto, è un vettore diretto lungo l’asse z con modulo Lz uguale al prodotto del momento di inerzia I per la velocità angolare omega del corpo: Lz = I omega

- Dato un corpo in rotazione intorno a un asse fisso z, se il momento angolare L del corpo rispetto a un punto dell’asse si conserva, anche la componente z di L è costante nel tempo. In questo caso si ha: I1omega1 = I2omega2
dove I1 e omega1 sono il momento di inerzia e la velocità angolare nell’istante iniziale, e I2 e omega2 in un istante successivo.

Pianeti e Leggi di Keplero: spiegazione

DIMOSTRAZIONI LEGGI DI KEPLERO

- Nel moto rotatorio di un corpo rigido intorno a un asse fisso, l’applicazione di un momento M rispetto a un punto dell’asse z di rotazione produce un’accelerazione angolare alfa. Indicando con I il momento di inerzia del corpo, vale la relazione Mz = I alfa, dove Mz è la componente z del vettore M.

- Principio di conservazione del momento angolare: afferma che, se rispetto a un punto è nullo il momento risultante delle forze che agiscono su un sistema, il momento angolare totale del sistema rispetto allo stesso punto resta invariato nel tempo.