Integrali indefiniti: teoria ed esercizi svolti

INTEGRALI INDEFINITI: TEORIA ED ESERCIZI

La funzione   prende il nome di funzione integranda ed il simbolo   indica la variabile rispetto alla quale si effettua l’operazione d’integrazione.
Da quanto è stato detto, finora, l’integrazione indefinita è l’operazione inversa della derivazione.
Le proprietà degli integrali indefiniti - Per l’operazione di integrazione, valgono le seguenti proprietà,che valgono anche per la derivazione:
- l’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione
- l’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni..

Integrali indefiniti: proprietà e spiegazione

INTEGRALE MATEMATICA

Il metodo di scomposizione. Come abbiamo visto nell’ultimo esempio, quando la funzione integranda è somma algebrica di altre funzioni, l’integrale si calcola scomponendo la funzione di partenza.

Questo procedimento è noto anche come metodo di scomposizione:  l’integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali.
Altre regole di integrazione. Esistono altri metodi d’integrazione, tra cui:
- l’integrazione per sostituzione;
- l’integrazione delle funzioni razionali fratte;
- l’integrazione per parti.
Integrazione per sostituzione. Questo tipo d’integrazione permette di presentare l’integrale in una forma più semplice, questo accade solo se si sostituisce la variabile d’integrazione   con un’altra variabile  , legata a   da una opportuna relazione. Dopo aver eseguito l’integrazione si deve nuovamente passare dalla variabile   alla variabile.

Integrali definiti e indefiniti: tesina

INTEGRALE INDEFINITO: ESERCIZI SVOLTI

Integrazione delle funzioni razionali fratte.
A volte la funzione integranda non si presenta come la derivata di una funzione nota, ma si può presentare come il rapporto tra due funzioni razionali intere di ugual grado.
Ogni qual volta la funzione integranda si presenta nella forma  con   e   polinomi interi e con il grado di   maggiore o uguale a quello di  , è opportuno dividere   per  ;si otterrà cosi un quoziente   ed un resto  .Scrivendo allora:
Se al denominatore si presenta un trinomio di secondo grado, l’integrazione si effettua con tre tecniche diverse, a seconda che nel trinomio il delta ( ) sia maggiore, minore o uguale a zero.
Nel primo caso, con il  , la tecnica d’integrazione, consiste nell’effettuare la scomposizione e poi nello spezzare la frazione in una somma algebrica di due frazioni col denominatore di primo grado.

Integrali indefiniti: definizione e formulario

PROPRIETA' INTEGRALE INDEFINITO

In altre parole dopo la scomposizione del denominatore, la funzione integranda viene scritta  come la somma algebrica di due funzioni aventi come denominatori i due fattori di 1° ottenuti e come numeratori due variabili A, B. In seguito si passa alla costruzione di un sistema per il calcolo delle variabili ( A, B), per poter definire le equazioni che compongono il sistema si sfrutta il principio d’identità dei polinomi, il quale enuncia che: due polinomi sono uguali se sono uguali i coefficienti d’egual grado. Definiti i valori delle variabili, si va a sostituire il loro valore nell’integrale che a questo punto è di facile risoluzione...