Teorema di Lagrange

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Enunciato, dimostrazione algebrica e significato geometrico del teorema di Lagrange (1 pagine formato doc)

TEOREMA DI LAGRANGE TEOREMA DI LAGRANGE Enunciato: Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a; b] chiuso e derivabile in (a; b) aperto, esisterà un punto x0 appartenente ad (a;b) tale che f ' (x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a) Dimostrazione algebrica: Posto g(x)=f(x)-{f(a)+[(f(b)-f(a))/(b-a)]*(x-a)}, calcolando il valore g(x) quando x=a ed x=b, troveremo che g(a)=g(b)=0.
Da tale relazione sapendo che la funzione g(x) è continua e derivabile in un punto e imposto che g(a)=g(b)=0, per il teorema di Rolle la funzione è costante con derivata prima uguale a zero. Quindi avremo g '(x)=f '(x0)-[f(b)-f(a)]/(b-a); ciò comporta che f '(x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a).
La tesi proposta nell'enunciato risulta quindi dimostrata Significato geometrico: Il significato geometrico che viene dato al teorema di Lagrange è di facile comprensione in quanto fa riferimento al concetto di tangente in un punto. Se un arco di curva è dotato di tangente, esistera' un punto x0 dove la tangente è una retta parallela alla secante che congiunge i due estremi della funzione (o anche arco di curva) dato.