Scomposizioni si un polinomio

La scomposizione dei polinomi in fattori - prima parte La scomposizione dei polinomi in fattori - prima parte Studio della scomposizione dei polinomi in fattori. Diverse tipologie di scomposizioni e spiegazioni delle regole Argomenti trattati: - Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini) - Raccoglimento parziale a fattor comune - Scomposizione del prodotto notevole (2 termini) - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): caso generale - Scomposizione della somma o differenza di cubi (2 termini) secondo la regola - Scomposizione del quadrato del trinomio (6 termini) secondo la regola - Scomposizione del cubo di un binomio (4 termini) secondo la regola 1) Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini) Si calcola il M.C.D. fra i monomi presenti nel polinomio, lo si pone “in evidenza” davanti a una parentesi e si inserisce nella parentesi il risultato della divisione di ciascun termine del polinomio per il M.C.D. Bisogna fare attenzione ai segni. Esempi: 24x4 + 5x3 - 15x2 + 75x = 5x(5x3 + x2 - 3x + 15) 12x3 + 4x2 - 16x = 4x(3x2 + x - 4) Per essere sicuri di avere scomposto in modo corretto si può fare una verifica: si sviluppa il prodotto tra il monomio e il polinomio tra parentesi (anche mentalmente) e, se la scomposizione è corretta, si deve ottenere il polinomio di partenza. 2) Raccoglimento parziale a fattor comune E' la scomposizione che richiede maggiore “occhio”. L'idea generale è questa. Si raccoglie un fattore comune fra alcuni dei termini presenti. Si raccoglie un altro fattore comune ad altri termini. Se nelle parentesi delle due scomposizioni effettuate si trova lo stesso polinomio, si può mettere in evidenza questa stessa parentesi. Si vedrà meglio dopo con un esempio. Naturalmente, la bravura sta nel mettere in evidenza dei fattori che fanno sì che tra parentesi compaia lo stesso polinomio. Non esiste una regola generale; spesso bisogna procedere per tentativi, dal momento che i fattori evidenziabili possono essere più di uno. Vediamo alcuni esempi:2x - 2y + x2 - xy - 2(x - y) + x(x - y) - (x - y)(2 + x) Come si vede, nel primo passaggio si sono effettuate due scomposizioni. In entrambe le parentesi compare il binomio (x - y): mettiamolo in evidenza e trattiamolo come se fosse un monomio. Con quali coefficienti (numerici/letterali) compare? +2 e +x (ho evidenziato i segni per non commettere errori). Tali coefficienti vanno inseriti nella nuova parentesi. Al solito, per verificare la correttezza della scomposizione si può fare il prodotto tra i binomi così ottenuti e il risultato deve dare il polinomio di partenza. Il raccoglimento è parziale, perché coinvolge solo una parte dei termini del polinomio. Si può anche notare che si potevano fare altri tentativi, ad esempio mettere in evidenza la x del primo e del quarto monomio, ma questo tentativo non avrebbe