Viaggio nella matematica verso l'infinito e oltre: concetto d'infinito

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Appunti su David Hilbert, Georg Cantor, Henri Poincare, Kurt Gödel, Évariste Galois , André Weil, Nicolas Bourbaki e Julia Robinson (3 pagine formato doc)

CONCETTO DI INFINITO

Nel 1900 a Parigi si tenne uno dei più grandi congressi di tutti i tempi  grazie alla lezione tenuta da David Hilbert  (23 gennaio 1862-14 febbraio 1943).
Hilbert individuò i 23 più grandi problemi matematici rimasti irrisolti, e la risoluzione di essi divenne l’obbiettivo della matematica moderna.
Il primo problema della lista di Hilbert venne affrontato in Germania, da Georg Cantor (3 marzo 1845-6 gennaio 1918). Egli fu il primo a comprendere  il significato di infinito in senso matematico e a darne una definizione.
Dimostrò che non esisteva un solo infinito bensì  ce ne erano un’infinità. Per arrivare a questa conclusione prese l’insieme dei numeri interi (1,2,3, …) e decise di compararli con il sottoinsieme delle decine (10,20,30,…). Mise in evidenza che questi due insiemi di numeri hanno la stessa grandezza poiché possono essere comparati (1-10,2-20,3-30, …), sono quindi insiemi infiniti della stessa grandezza. Trovò inoltre un modo per associare tutti i numeri interi con l’infinita quantità di frazioni.

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CONCETTO DI INFINITO IN MATEMATICA

Cantor dimostrò che non tutti gli infiniti hanno la stessa grandezza ma esistono diversi tipi di infiniti e alcuni sono più grandi di altri(l’insieme delle frazioni è molto più grande rispetto l’insieme infinito dei numeri interi). Georg non si curò dei paradossi generati dai suoi studi, infatti era convinto che ci fossero cose che era possibile definire matematicamente e altre che solo dio poteva conoscere. L’ultima parte della sua vita la dedicò all’ipotesi del continuo  ovvero che non esiste un infinito interposto tra quello più piccolo, dei numeri interi, e quello più grande, dei decimali illimitati. Cantor per via dei suoi studi ebbe molti crolli nervosi in quanto non scorgere mai un limite alle cose gli provocò problemi; i suoi studi non trovarono molto accoglimento tra i suoi contemporanei ma vennero apprezzati successivamente da Henri Poincaré (29 aprile 1854 - 17 luglio 1912).  Poincaré era una delle menti più brillanti, eccelleva in tutto.  Nel  1887 venne offerto un premio in denaro a chi fosse stato in grado di stabilire matematicamente il destino del sistema solare.  Poincaré ci provò; nonostante non risolse il problema ricevette il premio infatti uno dei curatori del Re si accorse che le approssimazioni che il matematico aveva effettuato facevano variare notevolmente le orbite dei pianeti. Venuto a conoscenza dell’errore si mise a correggerlo  e ottenne un risultato ancora più importante che gli permise di gettare le basi della teoria del caos.

L'infinito in matematica: tesina

FORMULA MATEMATICA INFINITO

Il contributo più grande alla matematica moderna da parte di Poincaré  fu dato attraverso una specie di indovinello “esiste un percorso che passi sui sette ponti ma solo per una volta”. La disposizione dei ponti non è casuale ma si riferisce a quelli della città di Königsberg:
Fu il matematico Eulero dimostrare che fosse  impossibile,  lo risolse grazie ad un nuovo approccio concettuale:  non erano le distanze tra i ponti a essere incisive ma il modo in cui i ponti erano collegati fra loro (era un problema di topologia). È proprio grazie a Poincaré che la topologia si sviluppò facendo nascere un nuovo modo di osservare le figure (due figure sono uguali se è possibile deformarne una e dagli la stessa forma dell’altra senza tagliarla). Analizzò topologicamente tutte le figure bidimensionali ma si trovo di fronte a un problema di cui non riuscì a risolvere; Noi viviamo in un universo tridimensionale, quali forme sono possibili con esso? (congettura di Poincaré). 

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