Funzioni continue: definizione e quando una funzione è continua

FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE E QUANDO UNA FUNZIONE E' CONTINUA

Premessa.

Nella didattica delle funzioni continue frequente è il ricorso ad un’immagine intuitiva: si dice che una funzione è continua se si può tracciare il grafico senza mai staccare la matita dal foglio, ma questa definizione può essere fuorviante: è vero infatti che il grafico di una funzione continua è "connesso" e non presenta "salti" o “interruzioni”, tuttavia in generale il grafico può avere una struttura talmente complessa che è umanamente impossibile disegnarlo. Non sempre perciò l’alunno sa svincolare il concetto di continuità da questa sua intuitiva visualizzazione grafica.

Continuità di una funzione: definizione e spiegazione

QUALI SONO LE FUNZIONI CONTINUE

Inoltre, l’abitudine di usare negli esempi e negli esercizi  alcune funzioni continue (aventi per grafico, ad esempio, rette, parabole, curve logaritmiche) può essere causa del consolidarsi dell’impressione secondo cui la continuità sia da considerarsi alla stregua di regola, mentre la discontinuità come eccezione.

In altri termini, l’allievo sembra associ“funzione” la caratteristica “continuità”, senza rendersi conto che una funzione continua dovrebbe invece essere considerata come un caso (molto) particolare di funzione (generalmente intesa).

Funzioni continue: esercizi svolti

QUANDO UNA FUNZIONE E' CONTINUA

La funzione parte intera è la funzione definita come segue: per un numero reale x, la parte intera di x, indicata con [x] è il più grande intero minore od uguale a x.  Per esempio [2.9]=2;   [−2]= −2 e [−2.3] = −3.
Come si vede, il grafico non può essere tracciato con continuità, nel senso che, in corrispondenza di alcuni (quelli la cui ascissa è un numero intero), il grafico procede a salti. Ciò si esprime dicendo che la funzione è discontinua nei punti di ascissa intera.
La funzione segno è una funzione logica che estrae il segno di un numero reale. Per evitare confusioni con la funzione seno, questa funzione è spesso chiamata funzione signum.(sgn).

Continuità e discontinuità delle funzioni: spiegazione

QUANDO UNA FUNZIONE SI DICE CONTINUA

Funzioni continue in un punto. Ma quando una funzione può definirsi continua? A livello intuitivo, possiamo dire che una funzione continua descrive un fenomeno in cui non avvengono brusche variazioni . Vediamo cosa si intende per “brusche variazioni”.
Immaginiamo ad esempio di muovere un termometro lungo una sbarra calda e di leggere la stessa temperatura T(x) = 90°C in tutti i punti della sbarra, tranne che in un punto dove   °C . Muovendo il termometro in prossimità di , constatiamo che la  prossimità (vicinanza) di  non comporta quella di T(x) a  : ciò significa che la funzione   ha una brusca variazione nel punto.