Come calcolare gli integrali definiti

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Tesina sugli integrali definiti con teoremi dimostrati su come calcolare l'area del trapezoide (17 pagine formato doc)

COME CALCOLARE INTEGRALI DEFINITI

Per risolvere i problemi legati al calcolo delle misure di lunghezze di segmenti curvilinei, di aree o di volumi di figure mistilinee oppure per calcolarne la posizione del baricentro, nacque il concetto di integrale.

Nell’antichità la maggior parte dei problemi legati al calcolo delle aree venivano risolti con l’utilizzo del metodo di esaustione. In epoca moderna, uno dei primi matematici ad occuparsi di tali problemi fu Johannes Kepler (1571-1630) nella sua opera “ Stereometria Doliorum”. Il metodo proposto da Kepler consiste nell’ identificare aree e volumi con la somma di diversi elementi infinitesimi.
Ad esempio, un cerchio può essere scomposto in tanti triangoli aventi vertice nel cento del cerchio e base sulla circonferenza; oppure una sfera può essere considerata come somma di coni con i vertici nel cento della sfera.

Integrali e calcolo delle aree: riassunto


REGOLE DI INTEGRAZIONE DEFINITA

Galileo Galilei (1564-1642) affrontò il problema in maniera più vicina al concetto moderno di integrale, soprattutto nell’opera “Due nuove scienze” dove dimostrò che l’area sottesa dalla curva  rappresentativa della velocità in un diagramma s-t, rappresenta lo spazio percorso. Galileo, tuttavia, non possedeva gli strumenti matematici per esprimere tali concetti. Problemi molto simili furono affrontati dai matematici del XVII secolo, con un metodo molto simile a quello di esaustione anche se tali metodi erano simili più apparentemente che sostanzialmente. I matematici del XVII secolo non possedevano un metodo generale di calcolo e il loro concetto di integrale poteva considerarsi in maniera pressoché “statica”. Bisognava cogliere il legame che intercorre tra integrazione e derivazione e per fare ciò è necessario possedere un concetto di integrale che fosse “dinamico” cioè concepito come funzione di una variabile.

Calcolo dell'area del trapezoide: formule

INTEGRALE DEFINITO FORMULA

Questo legame fu esplicitato da Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716) attraverso lo studio di alcuni problemi fisici. Essi riuscirono a formulare il metodo generale che esprimiamo con la formula: ∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a).
Tuttavia il concetto di integrale restava ancora di carattere geometrico e non era soddisfacente dal punto di vista del rigore. Sarà Augustin- Louis Cauchy a darne, nel 1823, una definizione rigorosa. La relazione di Cauchy si estende a funzioni continue nell’intervallo di integrazione, ma questa può essere facilmente estesa anche a funzioni che presentino un numero finito di punti di discontinuità purché questi siano di prima o di terza specie (questi ultimi peraltro sono eliminabili introducendo un’estensione della funzione). In seguito furono proposte definizioni ancora più generali dai matematici Rienmann e Lebesgue. Quella di Lebesgue è considerata oggi la più generale.

Come calcolare gli integrali definiti: tesina


GLI INTEGRALI DEFINITI DEFINIZIONE

Concetto di integrale definito di una funzione continua. Consideriamo una funzione y=f(x) che sia continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b].  Supponiamo pure che essa sia positiva in questo intervallo e ne consideriamo la figura piana limitata dal diagramma della funzione, dall’asse della ascisse e dalle parallele all’asse delle ordinate condotte per i punti M ed N del diagramma.
Vogliamo, quindi calcolare l’area di questa figura piana mistilinea che prende il nome di trapezoide e per far ciò dividiamo l’intervallo [a,b] in un numero n di parti di ampiezza.