Le derivate: tesina

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Spiegazione di come si fanno le derivate con esercizi. Tesina di matematica sulle derivate: la derivata di una funzione reale di variabile reale, significato geometrico di derivata, precisazioni sul significato geometrico e il calcolo della derivata (14 pagine formato doc)

LE DERIVATE: TESINA

Derivate di una funzione reale di variabile reale
Definizione e prime proprietà...
Osservazioni..
si chiama rapporto incrementale di f relativo a x0.

Poiché è lecito porre x=x0+h, se  si ha che  e dunque si può equivalentemente scrivere.
Se si considera il limite per   ( ) si parla di derivata destra e si indica con f'+(x0). Analogamente si definisce la derivata sinistra, che si indica con f'-(x0).
Si dimostra che f è derivabile in x0 se e solo se f'+=f'-=f'.

Si dice che f è derivabile in un intervallo A se lo è in ogni punto di A.
Quindi f'+(0)=1, mentre f'-(0)=-1 e dunque f non è derivabile in zero (esso è detto punto angoloso).
Vale il seguente importante teorema:
Teorema    Se f è derivabile in x0, allora f è continua in x0.

Regole delle derivate


LE DERIVATE TESINA MATEMATICA

Osservazione. Il teorema stabilisce la relazione fra la continuità e la derivabilità di una funzione. Vale la pena di sottolineare il contenuto del Teorema, poiché si tende spesso a dar per scontata proprio la parte non vera: nelle ipotesi del teorema, la derivabilità di f(x) (in un punto x0 o in un intero intervallo I) implica la sua continuità (nello stesso punto x0 o nello steso intervallo I), ma non vale il viceversa: ad esempio f(x)=|x| è continua in x0=0, ma è ivi non derivabile. Brevemente, si usa spesso scrivere.

Spiegazione delle derivate


COME SI FANNNO LE DERIVATE

Un'ulteriore precisazione: quanto detto significa che dalla continuità non si può dedurre la derivabilità, ma non significa che una funzione continua non possa essere anche derivabile. Anzi, la maggior parte degli esempi di funzioni che incontriamo in questo libro sono funzioni continue e funzioni derivabili in tutto il loro dominio di definizione.
Infine si noti che se una funzione non è definita in un punto o in un intervallo, allora non ha senso parlare della sua continuità e/o derivabilità in quel punto o in quell'intervallo, semplicemente perchè essa ivi non esiste.

Derivata: definizione di matematica


LE DERIVATE SPIEGAZIONE

Significato geometrico di derivata. Per introdurre graficamente il concetto di derivata, fissiamo un punto x0nel piano cartesiano che appartenga all'insieme di definizione di y=f(x) e consideriamo il punto P0(x0,f(x0)) che appartiene al grafico Gf della funzione. Consideriamo inoltre un nuovo punto P(x,f(x)) sul grafico di f, distinto da P0, la cui ascissa x appartenga ancora all'insieme di definizione di f. Per come abbiamo scelto le cose (figura 3.1) la retta s passante per P0 e Pè una secante del grafico di f.
Fissato P0, immaginiamo di poter avvicinare P a P0sul grafico Gf: la posizione della retta secante cambia progressivamente fino a raggiungere una posizione limite quando P coincide con P0: quella della retta t tangente al grafico di f in P0 (figura 3.2. ).