Integrali definiti e indefiniti: tesina

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Integrali definiti e indefiniti: tesina con definizione, proprietà e teorema fondamentale del calcolo integrale Torricelli-Barrow (4 pagine formato docx)

INTEGRALI DEFINITI E INDEFINITI: TESINA

L’integrale è un operatore matematico lineare.

L’operazione di integrazione è contraria all’operazione di derivazione. Quando si svolge un integrale deve essere espresso un differenziale che indica rispetto a quale variabile va effettuata l’operazione di integrazione. La funzione cui si effettua l’integrale è chiamata funzione integranda. Esistono due tipi di integrali:
•    Integrale indefinito;
•    Integrale definito.

Integrali indefiniti: teoria ed esercizi

DEFINIZIONE INTEGRALE INDEFINITO

Integrale indefinito:
L’integrale indefinito esprime la totalità delle primitive di una funzione. Una primitiva di una funzione è una funzione che derivata mi dà la funzione di partenza.

Le infinite primitive di una funzione differiscono tra loro per una costante. La primitiva la cui costante è uguale a zero è chiamata primitiva semplice. La funzione deve essere continua.
Proprietà degli integrali:
Proprietà della costante moltiplicativa:
∫ K*f(x) dx= k*∫ f(x) dx
Proprietà della somma di funzione:
∫ [f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
Combinazione lineare:
∫ [K1*f(x) ± K2*g(x)] dx= K1*∫ f(x) dx ± K2*∫ g(x) dx
Esempi di svolgimento di un integrale indefinito:
∫sen(x) dx= -cos(x) + k
∫x2 + 3 dx=   + 3x + k

Integrali indefiniti: definizione e formulario

DEFINIZIONE INTEGRALE DEFINITO

Integrale definito:
L’integrale definito serve per calcolare l’area del trapezoide, cioè una figura piana delimitata dal grafico di una funzione f(x) continua in un intervallo [a;b], dall’asse delle ascisse e dalle rette parallele all’asse delle ordinate di equazioni x=a e x=b.
Per calcolare l’integrale definito dobbiamo considerare il trapezoide come un insieme di rettangoli. Maggiore è il numero di rettangoli con cui abbiamo suddiviso il trapezoide, minore sarà l’errore dell’integrale. Per questo l’integrale definito tra a e b è uguale al limite per n che tende a infinito della somma sn delle aree dei rettangoli che arrotondano per difetto(inscritte) e al limite per n che tende a infinito della somma Sn delle aree dei rettangoli che arrotondano per eccesso(circoscritte).
Il valore restituito dall’integrale definito può essere positivo, negativo o nullo.
Per il calcolo dell’integrale definito è necessario indicare l’intervallo nel quale deve essere calcolata l’area del trapezoide e la funzione deve essere continua in quell’intervallo. Gli estremi di un intervallo sono chiamati estremi di integrazione. In un intervallo [a;b] a è l’estremo inferiore e b è l’estremo superiore.
Quando i due estremi coincidono l’integrale è uguale a Ø poichè ci si sta riferendo ad un segmento.
Inoltre l’integrale di una funzione f(x) nell’intervallo [a;b] è uguale all’opposto dell’integrale della stessa funzione nell’intervallo [b;a].
Esempio di svolgimento di un integrale definito:
Il dominio è, perciò la funzione è continua nell’intervallo [1;3]. Posso effettuare il calcolo della primitiva semplice:
Dopo di che, possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale(Torricelli-Barrow) che ci dice che l’integrale definito di una funzione è uguale alla primitiva nel punto b meno la primitiva nel punto a. Quindi:
Un integrale definito di una funzione f(x) continua nell’intervallo [a;b] può essere scomposto nella somma di due integrali in questo modo: